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sábado, 27 de septiembre de 2008
MATEMATICAS SEGUNDO GRADO
PROGRAMA DE MATEMATICAS III
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS http://soko.com.ar/matem/matematica/func_trig.htm
Unidad I
Geometría euclidiana o métrica.
Geometría basada en los postulados de Euclides. Además de estudiar los problemas afines de los objetos geométricos –incidencia, intersección y paralelismo-, se ocupa de los problemas geométricos de medida, tales como el cálculo de longitudes, distancias, áreas y volúmenes y medición de ángulos. Para ello es preciso un instrumento algebraico: el producto escalar, lo que equivale geométricamente al uso del compás, además de la escuadra y el cartabón.
Considera en general el estudio basado en la experiencia diaria, por lo que toma en cuenta tres dimensiones. Dos puntos fundamentales la definen:
1.- dos rectas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y al prolongarse en forma indefinida en ambas direcciones jamás se llegan a cortar.
2.- por un punto exterior a una curva dada se puede trazar una y solo una recta paralela.
1.1 Elementos Geométricos.
Punto.- concepto geométrico no definido que carece de dimensiones: longitud, anchura y espesor; su idea puede sugerirse mediante la huella que deja un lapiz en el papel.
Linea:- concepto geométrico nodefinido que posee una sola dimensio: logitud pero carece de anchura y espesor. Se denota designando dos de sus puntos con letra mayúscula o bien con una letra minúscula cerca de ella. ------A--------------D---------- r se lee recta AD y se escribe AD
Plano.- una superficie como la de una pared o la de un piso, nos sugiere la idea de un plano. Generalmente se designa con una letra mayúscula P a la cual precede la palabra plano (Plano P) o tres de sus puntos no alineados A B C .
ELEMENTO.- cada una de las partes que forman una figura. Punto como una parte infinitamente pequeña de una curva, una recta, una superficie o un volumen. Ente que pertenece a un conjunto.
GEOMETRIA.-es el arte y la ciencia de la descripción y la medida del espacio. Parte de la matemáticas que se encarga del estudio de las líneas, figuras y cuerpos, incluyendo su teoría y su aplicación en las creaciones sobre papel.
1.2 Razones y proporciones
Razón. Geométrica-
relación existente entre dos cantidades, una de las cuales se ha de dividir entre la otra.
A la razón de lados homólogos se le llama razón de semejanza.
Proporción.- es la igualdad de dos razones geométricas, es decir:
a/b = c/d
a:b :: c:d
Proporción, en aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee "12 es a 3 como 8 es a 2". En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética está basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción continua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2:4::4:8 y 4:8::8:16.
En la antigua Grecia, la teoría de números no era adecuada para describir aritméticamente las magnitudes geométricas. Por tanto, el astrónomo y matemático griego Eudoxo propuso una teoría separada para la proporción geométrica en el siglo IV a. C. Una descripción detallada de esta teoría, escrita por el matemático griego Euclides, se puede encontrar en los libros quinto y sexto de los Elementos de geometría.
PROPORCIONALIDAD. Cuando tomamos una foto, los objetos y las personas reproducidos son mucho más pequeños que los de la realidad. Sin embargo, todos sabemos que, aunque el tamaño es diferente, las proporciones son las mismas.
Esta idea de proporcionalidad surge de comparar cantidades, y conocer sus propiedades permite resolver situaciones sencillas.
Por ejemplo, una cocinera que debe calcular los ingredientes para preparar la comida o para un número determinado de comensales.
O el dinero que debe pagar un comerciante según sea la cantidad de mercancía que compra.
O los metros de genero que se deben utilizar para confeccionar un numero X de prendas.
Pero las propiedades de la proporcionalidad también se aplican a la resolución de complicados problemas económicos, tecnológicos y científicos, ya que en esas ramas se opera con diferentes magnitudes.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS RAZONES GEOMETRICAS.- Una razón geométrica no se altera cuando se multiplican o dividen sus dos términos por un mismo número.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES:
En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Y Recíprocamente, dados cuatro números cualquiera a,b,c,d,
1.3 triángulos
Triangulo.- Polígono de tres lados. Es una poligonal cerrada formada por tres segmentos consecutivos y todos sus puntos interiores
Clasificación de triángulos
Por sus lados:
Triangulo equilátero.- cuando sus tres lados y sus tres ángulos son iguales.
Triangulo isósceles.- con dos lados y dos ángulos iguales.
Triangulo escaleno.- tiene todos sus lados distintos
Por sus ángulos:
Triangulo rectángulo.- dicese del triangulo que tiene un Angulo recto o de 900. Sobre este tipo de triangulo se estudia el teorema de Pitágoras y las funciones trigonometricas básicas. en este triangulo sus lados tienen nombres especiales. CATETO, CATETO E HIPOTENUSA.
Triangulo Obtusángulo.- Cuando uno de sus ángulos es obtuso, o sea, que mide más de 900 y menos de 1800
Triangulo Esférico.- triangulo trazado sobre una esfera.
Triangulo Escaleno.- cuando sus tres lados son desiguales.
Triangulo Acutángulo.- cuando sus tres ángulos son agudos.
Triangulo Curvilíneo.- Cuando sus tres lados son Curvas.
EL PERIMETRO DE UN TRIANGULO ES LA SUMA DE LAS LONGITUDES DE SUS LADOS.
*LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO ES IGUAL A 1800
1.4 triángulos semejantes.
Triángulos semejantes: dos triángulos son semejantes si poseen los tres ángulos con las medidas respectivamente iguales. De forma idéntica pero de magnitudes diferentes.
PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO
Alturas de un triangulo.- se llama altura de un triangulo al segmento perpendicular a cada lado que se une con el vértice opuesto, y se designa con la letra (h).
Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.
Bisectriz de un triangulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales., y el punto donde se cortan se llama incentro.
Se llaman medianas de un triangulo a los segmentos determinados por cada vértice y el punto medio del lado opuesto.
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por un punto medio. Las mediatrices de un triangulo son las mediatrices de cada uno de sus lados.
1.3.2 TEOREMA DE PITAGORAS
Demostró que en todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
c2=a2+b2 donde c es la hipotenusa
El triangulo ha sido una de las figuras geométricas que mas intereso a lo largo de la historia.
Hace más de 2000 años que los hombres le descubrieron una propiedad fundamental: se trata de un polígono rígido, o sea que no se puede deformar. Es por eso que se lo ha utilizado en numerosas construcciones.
1.4 POLIGONOS
Figura plana de varios ángulos limitada por líneas rectas o curvas. La figura formada por los puntos de la poligonal cerrada que le sirve de borde y todos los puntos de la región interior a ella.
Figuras de: triangulo, cuadrado, pentágono, hexágono etc.
Pentágono.- polígono de cinco caras y cinco ángulos. En el pentágono regular cada ángulo interior mide 720.
ELEMENTOS DE UN POLIGONO:
Polígono abcde
VERTICES: extremo de los segmentos que determinan la poligonal. Son a, b, c, d, e.
__ __ __ __ __
LADOS: cada segmento de la poligonal es un lado. Son: ab, bc, cd, de, ea.
ANGULOS INTERIORES: están determinados por dos lados consecutivos de la poligonal. Son:
^ ^ ^ ^
a, b, c, d, e. ^ ^ ^ ^ ^
ANGULOS EXTERIORES: son los adyacentes a los interiores. Son a b j d e
DIAGONALES: se llama diagonal al segmento determinado por dos vértices no consecutivos.
__ __ __ __ __
Son: ac, ad, db, be, ce.
Calculando diagonales:
En este polígono es fácil determinar sus diagonales y contarlas, pero si se incrementa el número de lados de un polígono nos daría una imagen confusa, por lo que existe una forma analítica de determinarlo por medio de la formula: n(n-3)
NTD (numero total de diagonales) NTD=---------------
2
Todo polígono se puede inscribir en una circunferencia. Es decir que hay una circunferencia que pasa por sus vértices.
El ángulo central de un polígono tiene el vértice en el centro del polígono y de la circunferencia en el que esta inscripto.
Los lados del ángulo son dos radios consecutivos de la circunferencia.
Para construir polígonos regulares:
a).-Se traza una circunferencia.
b).- Dividimos al ángulo central (3600) por el numero de lados.
1.5 CIRCUNFERENCIA
UN POCO DE HISTORIA:
El círculo ha sido muy importante para el desarrollo de la humanidad por sus aplicaciones en la ciencia y en la técnica. El descubrimiento de la rueda hace miles de anos atrás fue uno de los mayores logros. Su utilización como medio de transporte disminuyo notablemente el rozamiento por arrastre. Como elemento de una maquina se empleo para poleas, prensas y tornos en el siglo VII a.C. A partir de la revolución Industrial, tuvo nuevos usos.
Los matemáticos griegos se dedicaron al estudio aritmético y geométrico del círculo.
o R
En el siglo II a. C. Arquímedes dedujo el valor de (pi). Mas tarde, EUCLIDES, matemático griego del siglo IV, escribió las formulas de la longitud de la circunferencia y del área del circulo en su obra Elementos.
región interior REGION EXTERIOR
Se llama circunferencia de centro “o” y radio R a todos los puntos del plano que están a la misma distancia de “o”
Radio.- segmento comprendido entre el centro de la circunferencia y la misma.
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
Si una recta A corta en dos puntos; se dice que es una recta secante.
Si una recta B corta en un punto; se dice que B es una recta Tangente.
Si la recta C no corta en ningún punto; se dice que C es una recta exterior.
1.6 CIRCULO
o R
Se llama circulo de centro “o” y radio R a todos los puntos de la circunferencia y todos los interiores a misma.
1.7 AREAS Y VOLUMENES
El teorema de Pitágoras
1. Introducción.
2. Desarrollo.
3. Ejercicios
4. Medición practica de los catetos e hipotenusa a través del teorema de Pitágoras.
5. Bibliografía
INTRODUCCION.
Uno de los teoremas milenarios más importantes es sin duda alguna el teorema de Pitágoras.
Gracias a éste se han resuelto infinidad de problemas prácticos que han incidido en el mejoramiento del nivel de vida de la humanidad.
DESARROLLO.
Pitágoras. Filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaximedes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.c. se instaló en Trotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce solo a través de la obra de sus discípulos.
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo.
Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Se dice que el mismo Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorphus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus experiencias previas.
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números.
Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas.
Se dice que Pitágoras fue discípulo de Tales, pero apartándose de la escuela jónica fundó en Crotona Italia la escuela Pitagórica.
Los egipcios conocieron la propiedad del triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades de longitud, en los que se verifica la relación 52 = 32 + 42 , pero el descubrimiento de la relación a2 = b2 + c2 para cualquier triángulo rectángulo y su demostración se debe indiscutiblemente a Pitágoras.
Se atribuye también a la escuela pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo y la construcción geométrica del polígono estrellado de 5 lados.
El teorema de Pitágoras nos dice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Donde los catetos son los lados del triángulo que forman el ángulo recto.
La hipotenusa es el lado opuesto del ángulo recto.
Catetos
Matemáticamente :
Llamémosle "a" a uno de los catetos y "b" al otro cateto, "c" a la hipotenusa, entonces:
C =
O si queremos los catetos a o b:
A=
B=
EJEMPLOS:
Encontrar lo que se pide dados los datos siguientes:
1).-a = 3 c =
b = 4 c = =5
2).- a = 15 c = =25
b = 20
3).- a =2 b =
c =5 b = =
4).- b =3 a =
c =6 a=
EJERCICIOS:
Encontrar lo que se pide:
1).- a = ? si b = 5 c = 8
2).- b = ? si a =3 c = 10
3).- c = ? si a = 10 b = 15
4).- a = ? si b = 7 c = 9
5).- b = ? si a = 6 c = 10
6).- c = ? si a = 13 b = 10
7).- a = ? si b =2 c = 10
8).- b = ? si a = 5 c = 15
9).- c = ? si a = 7 b = 8
10).- a = ? si b = 15 c = 20
MEDICION PRACTICA DE LOS CATETOS E HIPOTENUSA A TRAVES DEL TEOREMA DE PITAGORAS.
En el ejemplo 1) se calculó la hipotenusa del triángulo perfecto cuyos catetos tienen una longitud de 3 y 4 unidades y su hipotenusa de 5 unidades.
Constatemos físicamente ese cálculo. Dibujamos un cateto que mida 3 centímetros y lo trazamos horizontalmente, después trazamos otro de 4 centímetros perpendicularmente al cateto 3 centímetros en cualquiera de los extremos y después dibujamos una línea para unir los dos catetos (esa línea es la hipotenusa).
Enseguida, si medimos esa línea llamada hipotenusa encontraremos que vale 5 centímetros que es los que se había calculado previamente con el teorema de Pitágoras.
BIBLIOGRAFIA
Álgebra
Baldor
Editorial Mc Graw Hill.
Enciclopedia Encarta 2000
Apuntes personales
JORGE LUIS LEDEZMA HERNANDEZ
jorgeluisledezma63@hotmail.com
Ingeniero industrial en electrica
Docente en la especialidad de mantenimiento y electromecanica en el Centro de Bachillerato Industrial y de servicios # 54 de cd Acuña. en cd Acuña coahuila Mexico.
Catedratico del Instituto Tecnologico Superior de Acuña en la especialidad de ingenieria electromecanica e ingenieria industrial.
actualmente cursando la maestria en productividad en la Universidad autónoma del Noreste.
Comentarios
Reducción al primer cuadrante
Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo cualquiera a su equivalente de un ángulo del primer cuadrante. Para tal efecto, vamos a deducir las fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También, vamos a constatar que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer cuadrante, son iguales a las cofunciones del ángulo complementario". Además, vamos a calcular las funciones trigonométricas del negativo de un ángulo.
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Unidad I
Geometría euclidiana o métrica.
Geometría basada en los postulados de Euclides. Además de estudiar los problemas afines de los objetos geométricos –incidencia, intersección y paralelismo-, se ocupa de los problemas geométricos de medida, tales como el cálculo de longitudes, distancias, áreas y volúmenes y medición de ángulos. Para ello es preciso un instrumento algebraico: el producto escalar, lo que equivale geométricamente al uso del compás, además de la escuadra y el cartabón.
Considera en general el estudio basado en la experiencia diaria, por lo que toma en cuenta tres dimensiones. Dos puntos fundamentales la definen:
1.- dos rectas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y al prolongarse en forma indefinida en ambas direcciones jamás se llegan a cortar.
2.- por un punto exterior a una curva dada se puede trazar una y solo una recta paralela.
1.1 Elementos Geométricos.
Punto.- concepto geométrico no definido que carece de dimensiones: longitud, anchura y espesor; su idea puede sugerirse mediante la huella que deja un lapiz en el papel.
Linea:- concepto geométrico nodefinido que posee una sola dimensio: logitud pero carece de anchura y espesor. Se denota designando dos de sus puntos con letra mayúscula o bien con una letra minúscula cerca de ella. ------A--------------D---------- r se lee recta AD y se escribe AD
Plano.- una superficie como la de una pared o la de un piso, nos sugiere la idea de un plano. Generalmente se designa con una letra mayúscula P a la cual precede la palabra plano (Plano P) o tres de sus puntos no alineados A B C .
ELEMENTO.- cada una de las partes que forman una figura. Punto como una parte infinitamente pequeña de una curva, una recta, una superficie o un volumen. Ente que pertenece a un conjunto.
GEOMETRIA.-es el arte y la ciencia de la descripción y la medida del espacio. Parte de la matemáticas que se encarga del estudio de las líneas, figuras y cuerpos, incluyendo su teoría y su aplicación en las creaciones sobre papel.
1.2 Razones y proporciones
Razón. Geométrica-
relación existente entre dos cantidades, una de las cuales se ha de dividir entre la otra.
A la razón de lados homólogos se le llama razón de semejanza.
Proporción.- es la igualdad de dos razones geométricas, es decir:
a/b = c/d
a:b :: c:d
Proporción, en aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee "12 es a 3 como 8 es a 2". En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética está basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción continua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2:4::4:8 y 4:8::8:16.
En la antigua Grecia, la teoría de números no era adecuada para describir aritméticamente las magnitudes geométricas. Por tanto, el astrónomo y matemático griego Eudoxo propuso una teoría separada para la proporción geométrica en el siglo IV a. C. Una descripción detallada de esta teoría, escrita por el matemático griego Euclides, se puede encontrar en los libros quinto y sexto de los Elementos de geometría.
PROPORCIONALIDAD. Cuando tomamos una foto, los objetos y las personas reproducidos son mucho más pequeños que los de la realidad. Sin embargo, todos sabemos que, aunque el tamaño es diferente, las proporciones son las mismas.
Esta idea de proporcionalidad surge de comparar cantidades, y conocer sus propiedades permite resolver situaciones sencillas.
Por ejemplo, una cocinera que debe calcular los ingredientes para preparar la comida o para un número determinado de comensales.
O el dinero que debe pagar un comerciante según sea la cantidad de mercancía que compra.
O los metros de genero que se deben utilizar para confeccionar un numero X de prendas.
Pero las propiedades de la proporcionalidad también se aplican a la resolución de complicados problemas económicos, tecnológicos y científicos, ya que en esas ramas se opera con diferentes magnitudes.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS RAZONES GEOMETRICAS.- Una razón geométrica no se altera cuando se multiplican o dividen sus dos términos por un mismo número.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES:
En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Y Recíprocamente, dados cuatro números cualquiera a,b,c,d,
1.3 triángulos
Triangulo.- Polígono de tres lados. Es una poligonal cerrada formada por tres segmentos consecutivos y todos sus puntos interiores
Clasificación de triángulos
Por sus lados:
Triangulo equilátero.- cuando sus tres lados y sus tres ángulos son iguales.
Triangulo isósceles.- con dos lados y dos ángulos iguales.
Triangulo escaleno.- tiene todos sus lados distintos
Por sus ángulos:
Triangulo rectángulo.- dicese del triangulo que tiene un Angulo recto o de 900. Sobre este tipo de triangulo se estudia el teorema de Pitágoras y las funciones trigonometricas básicas. en este triangulo sus lados tienen nombres especiales. CATETO, CATETO E HIPOTENUSA.
Triangulo Obtusángulo.- Cuando uno de sus ángulos es obtuso, o sea, que mide más de 900 y menos de 1800
Triangulo Esférico.- triangulo trazado sobre una esfera.
Triangulo Escaleno.- cuando sus tres lados son desiguales.
Triangulo Acutángulo.- cuando sus tres ángulos son agudos.
Triangulo Curvilíneo.- Cuando sus tres lados son Curvas.
EL PERIMETRO DE UN TRIANGULO ES LA SUMA DE LAS LONGITUDES DE SUS LADOS.
*LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO ES IGUAL A 1800
1.4 triángulos semejantes.
Triángulos semejantes: dos triángulos son semejantes si poseen los tres ángulos con las medidas respectivamente iguales. De forma idéntica pero de magnitudes diferentes.
PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO
Alturas de un triangulo.- se llama altura de un triangulo al segmento perpendicular a cada lado que se une con el vértice opuesto, y se designa con la letra (h).
Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.
Bisectriz de un triangulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales., y el punto donde se cortan se llama incentro.
Se llaman medianas de un triangulo a los segmentos determinados por cada vértice y el punto medio del lado opuesto.
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por un punto medio. Las mediatrices de un triangulo son las mediatrices de cada uno de sus lados.
1.3.2 TEOREMA DE PITAGORAS
Demostró que en todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
c2=a2+b2 donde c es la hipotenusa
El triangulo ha sido una de las figuras geométricas que mas intereso a lo largo de la historia.
Hace más de 2000 años que los hombres le descubrieron una propiedad fundamental: se trata de un polígono rígido, o sea que no se puede deformar. Es por eso que se lo ha utilizado en numerosas construcciones.
1.4 POLIGONOS
Figura plana de varios ángulos limitada por líneas rectas o curvas. La figura formada por los puntos de la poligonal cerrada que le sirve de borde y todos los puntos de la región interior a ella.
Figuras de: triangulo, cuadrado, pentágono, hexágono etc.
Pentágono.- polígono de cinco caras y cinco ángulos. En el pentágono regular cada ángulo interior mide 720.
ELEMENTOS DE UN POLIGONO:
Polígono abcde
VERTICES: extremo de los segmentos que determinan la poligonal. Son a, b, c, d, e.
__ __ __ __ __
LADOS: cada segmento de la poligonal es un lado. Son: ab, bc, cd, de, ea.
ANGULOS INTERIORES: están determinados por dos lados consecutivos de la poligonal. Son:
^ ^ ^ ^
a, b, c, d, e. ^ ^ ^ ^ ^
ANGULOS EXTERIORES: son los adyacentes a los interiores. Son a b j d e
DIAGONALES: se llama diagonal al segmento determinado por dos vértices no consecutivos.
__ __ __ __ __
Son: ac, ad, db, be, ce.
Calculando diagonales:
En este polígono es fácil determinar sus diagonales y contarlas, pero si se incrementa el número de lados de un polígono nos daría una imagen confusa, por lo que existe una forma analítica de determinarlo por medio de la formula: n(n-3)
NTD (numero total de diagonales) NTD=---------------
2
Todo polígono se puede inscribir en una circunferencia. Es decir que hay una circunferencia que pasa por sus vértices.
El ángulo central de un polígono tiene el vértice en el centro del polígono y de la circunferencia en el que esta inscripto.
Los lados del ángulo son dos radios consecutivos de la circunferencia.
Para construir polígonos regulares:
a).-Se traza una circunferencia.
b).- Dividimos al ángulo central (3600) por el numero de lados.
1.5 CIRCUNFERENCIA
UN POCO DE HISTORIA:
El círculo ha sido muy importante para el desarrollo de la humanidad por sus aplicaciones en la ciencia y en la técnica. El descubrimiento de la rueda hace miles de anos atrás fue uno de los mayores logros. Su utilización como medio de transporte disminuyo notablemente el rozamiento por arrastre. Como elemento de una maquina se empleo para poleas, prensas y tornos en el siglo VII a.C. A partir de la revolución Industrial, tuvo nuevos usos.
Los matemáticos griegos se dedicaron al estudio aritmético y geométrico del círculo.
o R
En el siglo II a. C. Arquímedes dedujo el valor de (pi). Mas tarde, EUCLIDES, matemático griego del siglo IV, escribió las formulas de la longitud de la circunferencia y del área del circulo en su obra Elementos.
región interior REGION EXTERIOR
Se llama circunferencia de centro “o” y radio R a todos los puntos del plano que están a la misma distancia de “o”
Radio.- segmento comprendido entre el centro de la circunferencia y la misma.
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
Si una recta A corta en dos puntos; se dice que es una recta secante.
Si una recta B corta en un punto; se dice que B es una recta Tangente.
Si la recta C no corta en ningún punto; se dice que C es una recta exterior.
1.6 CIRCULO
o R
Se llama circulo de centro “o” y radio R a todos los puntos de la circunferencia y todos los interiores a misma.
1.7 AREAS Y VOLUMENES
El teorema de Pitágoras
1. Introducción.
2. Desarrollo.
3. Ejercicios
4. Medición practica de los catetos e hipotenusa a través del teorema de Pitágoras.
5. Bibliografía
INTRODUCCION.
Uno de los teoremas milenarios más importantes es sin duda alguna el teorema de Pitágoras.
Gracias a éste se han resuelto infinidad de problemas prácticos que han incidido en el mejoramiento del nivel de vida de la humanidad.
DESARROLLO.
Pitágoras. Filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaximedes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.c. se instaló en Trotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce solo a través de la obra de sus discípulos.
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo.
Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Se dice que el mismo Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorphus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus experiencias previas.
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números.
Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas.
Se dice que Pitágoras fue discípulo de Tales, pero apartándose de la escuela jónica fundó en Crotona Italia la escuela Pitagórica.
Los egipcios conocieron la propiedad del triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades de longitud, en los que se verifica la relación 52 = 32 + 42 , pero el descubrimiento de la relación a2 = b2 + c2 para cualquier triángulo rectángulo y su demostración se debe indiscutiblemente a Pitágoras.
Se atribuye también a la escuela pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo y la construcción geométrica del polígono estrellado de 5 lados.
El teorema de Pitágoras nos dice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Donde los catetos son los lados del triángulo que forman el ángulo recto.
La hipotenusa es el lado opuesto del ángulo recto.
Catetos
Matemáticamente :
Llamémosle "a" a uno de los catetos y "b" al otro cateto, "c" a la hipotenusa, entonces:
C =
O si queremos los catetos a o b:
A=
B=
EJEMPLOS:
Encontrar lo que se pide dados los datos siguientes:
1).-a = 3 c =
b = 4 c = =5
2).- a = 15 c = =25
b = 20
3).- a =2 b =
c =5 b = =
4).- b =3 a =
c =6 a=
EJERCICIOS:
Encontrar lo que se pide:
1).- a = ? si b = 5 c = 8
2).- b = ? si a =3 c = 10
3).- c = ? si a = 10 b = 15
4).- a = ? si b = 7 c = 9
5).- b = ? si a = 6 c = 10
6).- c = ? si a = 13 b = 10
7).- a = ? si b =2 c = 10
8).- b = ? si a = 5 c = 15
9).- c = ? si a = 7 b = 8
10).- a = ? si b = 15 c = 20
MEDICION PRACTICA DE LOS CATETOS E HIPOTENUSA A TRAVES DEL TEOREMA DE PITAGORAS.
En el ejemplo 1) se calculó la hipotenusa del triángulo perfecto cuyos catetos tienen una longitud de 3 y 4 unidades y su hipotenusa de 5 unidades.
Constatemos físicamente ese cálculo. Dibujamos un cateto que mida 3 centímetros y lo trazamos horizontalmente, después trazamos otro de 4 centímetros perpendicularmente al cateto 3 centímetros en cualquiera de los extremos y después dibujamos una línea para unir los dos catetos (esa línea es la hipotenusa).
Enseguida, si medimos esa línea llamada hipotenusa encontraremos que vale 5 centímetros que es los que se había calculado previamente con el teorema de Pitágoras.
BIBLIOGRAFIA
Álgebra
Baldor
Editorial Mc Graw Hill.
Enciclopedia Encarta 2000
Apuntes personales
JORGE LUIS LEDEZMA HERNANDEZ
jorgeluisledezma63@hotmail.com
Ingeniero industrial en electrica
Docente en la especialidad de mantenimiento y electromecanica en el Centro de Bachillerato Industrial y de servicios # 54 de cd Acuña. en cd Acuña coahuila Mexico.
Catedratico del Instituto Tecnologico Superior de Acuña en la especialidad de ingenieria electromecanica e ingenieria industrial.
actualmente cursando la maestria en productividad en la Universidad autónoma del Noreste.
Comentarios
Reducción al primer cuadrante
Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo cualquiera a su equivalente de un ángulo del primer cuadrante. Para tal efecto, vamos a deducir las fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También, vamos a constatar que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer cuadrante, son iguales a las cofunciones del ángulo complementario". Además, vamos a calcular las funciones trigonométricas del negativo de un ángulo.
MATEMATICAS PRIMER GRADO
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT
ESCUELA PREPARATORIA No. 3
documento elaborado por la unidad academica no 13 de la UAN
GUIA PARA EL PRIMER CURSO DE MATEMATICA
Tepic, Nayarit, Agosto de 2007
UNIDAD I
INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA
1.1Resolución de problemas de aritmética.
1) Ricardo elabora el resumen de un artículo que leyó en el periódico, él encontró cantidades como las siguientes:
El Monte Everest tiene una altitud de 8 848 m sobre el nivel del mar.
Con equipo especial como el batiscafo se han podido explorar fosas hasta los 11 000 m bajo el nivel del mar.
Cerca de la cima de la montaña se registró una temperatura de 30° C bajo cero.
Los gastos de la expedición y el dinero asignado oficialmente, muestran una diferencia de $100 000 en contra.
2) El hospital regional difundió información sobre las precauciones para evitar diversas enfermedades. Seis personas asistieron a la primera plática informativa, cada una de estas personas compartieron la información con otras seis, las que a su vez la compartieron con seis más, ¿en la etapa final a cuántas personas llegó la información?
3) Un elevador sube de la planta baja al piso 10, después baja 6 pisos y vuelve a subir 8 pisos ¿en qué piso se encuentra el elevador?
4) Si con 5 litros de pintura vinílica se pueden pintar 65 m2, ¿cuántos litros serán necesarios para pintar una pared que tiene 715 m2?
1.2Operaciones básicas
1.2.1. Suma o Adición:
Ejemplo: 5 + 6 (aritmética)
a + b (algebraica)
Operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones aritmética o algebraicas.
1) Propiedades de la suma
a. Propiedad conmutativa
a +b = b +a;
Ejemplos: 12+ 3 = 3+ 12
5+ 8 = 8+ 15
3+ n = n+3
b. Propiedad asociativa
a + b + c = (a + b)+ c = a + (b + c)
1 + 2 +3 = (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)
1.2.2Resta o sustracción
Ejemplo:
6 – 5 (aritmética)
a – b (algebraica)
Operación que tiene por objeto quitar o sustraer a una expresión
1.2.3 Multiplicación:
Ejemplo:
6 x 5 ó 6 . 5 (aritmética)
ab ó ba (algebraica)
Operación que tiene por objeto, dadas las cantidades llamadas multiplicandas y multiplicadoras, hallar una tercera cantidad, llamada producto.
1.2.4 División:
Ejemplo:
Operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
1.3 Las leyes de los signos para la suma y la resta
1.3.1 leyes de los signos para la suma
Ejemplo:
- 9 + 2 = - 7
- 35 + 25 = - 10
Números con signo contrario se restan, prescindiendo de su signo, y al resultado se le antepone el signo del número con mayor valor absoluto.
1.3.2 Leyes de los signos para la multiplicación y la división
Ejemplo:
(-)(-) = (+) (-3) (-9) = 27
(-)(+) = (-) (-7) (8) = -56
(+)(-) = (-) (9) (-4) = -36
(+)(+)= (+) (8) (5) = 40
1.4. Números reales
Los números reales resultan de la ampliación de otros conjuntos numéricos como:
¯ Conjunto de Números naturales (N). está formulado por los números que sirven para contar.
N = { 1,2, 3, 4, 5,…}
¯ Conjunto de los enteros nó negativos.
Z = {0, 1, 2, 3,…}
¯ Conjunto de los enteros nó positivos:
Z= { -1, -2, -3, -4…}
¯ Conjunto de los números enteros (Z).
Z = {…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
1.4.1 Conjunto de los números racionales (Q)
Este conjunto lo forman todos los números de la forma:
El conjunto de números reales resulta de la ampliación de otros conjuntos de números, Ejemplo:
Números naturales (N).
N = { 1, 2 , 3, 4, 5 …}
1.4.2Conjunto de números irracionales (I).
Está formado por todos los números que no se pueden escribir como el cociente de dos enteros, ejemplos:
El conjunto de los números racionales y de los irracionales constituye el conjunto de los números reales. Que se representa por R .
1.4.3 Representación de los números reales en una recta numérica
Los números reales se pueden representar mediante los puntos de una recta numérica.
Los números enteros se representa como:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
En situaciones en las que se representan ganancias y pérdidas de dinero
Los números enteros que se representa como:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Temperaturas sobre 0° C o bajo 0° C,
Fechas antes de nuestra era
Observe en la recta numérica que todo número con signo tiene un simétrico, que se encuentra a la misma distancia del origen ( “0” ) pero en sentido opuesto.
El valor absoluto de un número es la distancia que hay entre ese número y el origen, marcado como cero en la recta numérica.El valor absoluto de –3 es 3, pues la distancia de –3 al origen 0 es 3, y se representa: -3 = 3 El valor absoluto de +3 es 3, pues es la distancia de +3 al origen 0 es 3, y se representa: +3 = 3
Todo número colocado en la recta numérica, a la derecha de otro número es mayor que éste.
EJEMPLO:
Gabriel utilizó la recta numérica para resolver un problema, localizó en ella la temperatura de 3° C y la temperatura de –8° C, después contó los espacios que se encuentran entre estos valores numéricos.
Él encontró que la diferencia de temperaturas entre 3° C y –8° C es de…?
¿Qué procedimiento siguió?
1.5 Lenguaje Algebraico
Enunciado verbal
Expresión Algebraica
El doble de un número
La diferencia de dos números
La raíz cuadrada de un número
El triple del cubo de un número
El producto de dos números
La mitad de un número
El doble de un número disminuido en 5
Actividades complementarias
Resuelve los siguientes problemas sobre números reales y coméntalos con tus compañeros de clase.
a) Ricardo tiene una cisterna a la que le caben 3 500 litros y la va a llenar con una cubeta de 35 litros, ¿cuántas veces usará la cubeta para llenar la cisterna?
b) Anastasio compró un terreno de 350 m2 en 210 000 pesos. Si al año lo vendió cobrando 650 pesos por cada metro cuadrado, ¿cuánto ganó o perdió en la venta?
c)¿Cuántos limones podrá comprar con $ 18, si en el mercado le dan 3 limones por $ 1.50?
d) Un frigorífico bajó su temperatura 40° C. Si su temperatura inicial era de 10° C bajo cero, ¿a qué temperatura se encuentra?
¿Cuál es el resultado de la suma algebraica de 25 y –32? Presione sobre el inciso correcto.
f) Tres amigos obtuvieron un premio de $ 2 479.50, si lo reparten en partes iguales, ¿qué cantidad le toca a cada uno?
En un tianguis diariamente tres camiones descargan cajas con frutas y verduras.
Del camión uno, descargan 20 cajas de calabaza, 25 cajas de chilacayote, 15 cajas de mango, 16 cajas de manzana y 3 cajas de pera.
Del camión dos descargan 23 cajas de calabaza, 16 de chilacayote, 4 de mango, 2 de guayaba y 10 de manzana.
Del camión tres descargan: 3 cajas de calabaza, 30 de manzana, 20 de mango, 50 de pera y 5 de guayaba.
En la siguiente tabla se representa el precio de cada producto con una literal.
Producto
Precio por caja($)
Calabaza
Chilacayote
Mango
Manzana
Pera
Guayaba
b
c
g
k
d
f
Exprese lo que se le pide de manera algebraica
a)Consulte la tabla y escriba el precio total de las cajas de cada uno de los camiones.
b)Escriba el precio total de las cajas de manzana que descargaron de los tres camiones.
c)Escriba el precio total de las cajas de calabazas que descargaron de los tres camiones.
d)Escriba el precio del total de cajas de frutas y verduras que descargaron de los tres camiones.
UNIDAD II
EXPRESIONES ALGEBRAICAS, NOTACIÓN EXPONENCIAL, POLINOMIOSY EXPONENTES RACIONALES
2.1 Expresiones Algebraicas
Ejemplo:
Cualquier expresión que nos indique una o varias de las operaciones algebraicas.
2.1.1 Términos Algebraicos
Las expresiones algebraicas se componen de Términos.
Cada uno de los recuadros representa un término y juntos forman un Polinomio.
2.1.1.1Elementos de un Término
o El Signo
o Coeficiente
o Coeficiente Numérico
o Parte Literal.
El coeficiente literal lo constituyen las letras del término algebraico.
o El Grado.
Es la suma de los exponentes de sus factores literales; es decir con respecto a las letras.
Ejemplo:
2.1.2 Términos Semejantes
Son aquellos que tienen la misma parte literal.
Ejemplo:
y
y
Ejemplo:
y
y
Nó son términos semejantes
2.2 Notación exponencial
2.2.1 Potenciación
Ejemplo:
5 x 5 = 25
5 x 5 x 5 = 125
5 x 5 x 5 x 5 = 625
Las potencias son el resultado que se obtiene de tomar como factor dos o más veces un número.
2.2.2Propiedades de los exponentes
Regla del producto para los exponentes
Ejemplo:
Ejemplo:
Regla:
Regla del cociente para los exponentes
Ejemplo:
Regla: donde
Regla de la base con exponente cero
Ejemplo:
Si a es un número real diferente de cero, entonces por tanto para todo
Regla del exponente negativo
Ejemplo:
Regla de la potencia de una potencia
Ejemplo:
Para todo número real.
Regla: =
Regla:
Ejemplo:
Regla: donde
Regla: , donde a y b
2.3. Exponentes Racionales
La radiación es la operación inversa de la potenciación y permite, conociendo la potencia y el exponente, hallar la base correspondiente.
Como , se dice que 6 es la raíz cuadrada de 36 y se denota por
Como , entonces se dice que 2 es la raíz cúbica de 8 y se denota por .
Regla:
Ejemplo:
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
Ahora considera que en la expresión se tiene el caso en que m= n, entonces resulta que . en esta situación es necesario puntualizar las siguientes observaciones:
Si n es impar, para todo número real b
Si n es par, entonces para todo número real > 0 y es igual a (-b) para todo número b< 0.
Ejemplos:
a) c) e)
b) d) f)
2.3.2 Notación Científica
La notación científica consiste en expresar números muy grandes o muy pequeños con la ayuda de las potencias de base 10
Caso 1: el número dado es mayor que 1.
En este caso se mueve el punto decimal hacia la izquierda y se marca a la derecha del primer digito diferente de cero.
Cantidades enteras
Nueve lugares
Catorce lugares
Siete lugares
Caso 2. El número dado es menor 1
En este caso el punto decimal se mueve hacia la derecha y se marca a la derecha del primer digito diferente de cero.
Cantidades Decimales
Cinco lugares
Nueve lugares
Tres lugares
2.4 Polinomios
2.4.1 identificación de polinomios
Un polinomio es cualquier expresión algebraica constituida por un conjunto finito de términos, en cada uno de los cuales aparecen números y letras relacionadas solamente mediante productos y potencias de exponentes que son números naturales.
Ejemplos:
En cambio, las expresiones y no son polinomios, porque contienen exponentes que no son números naturales.
2.4.2 Clasificación de polinomios
Monomio: Es un polino2mio que consta de un solo término; por ejemplo:
Binomio: Es un polinomio que consta de dos términos; por ejemplo:
Trinomio: Es un polinomio que consta de tres términos; por ejemplo:
Si consta de cuatro términos, decimos que es un polinomio de cuatro términos, asi sucesivamente.
2.4.3 Suman o sustracción de polinomios
Para efectuar la suma de dos o más polinomios se requiere reducir términos semejantes de los polinomios que se suman. Para efectuarla se pueden escribir en renglones sucesivos de tal forma que los términos semejantes queden en una misma columna y a continuación se reducen.
Es importante que los polinomios que se suman se ordenen todos con respecto a una misma letra, ya sea en forma descendente o ascendente; es decir que los exponentes de una letra escogida vayan aumentando o disminuyendo de uno a otro.
Ejemplo: Efectuar la suma de los polinomios indicados:
a) ; ;
Solución
Ordenando los polinomios en forma descendente con respecto a x y colocándolos en renglones tenemos:
De donde al reducir términos semejantes resulta:
b) ; ;
Solución
2.4.4 Resta de polinomios
La resta se puede expresa como una suma aplicando la regla:
Ejemplo:
Restar al polinomio de
solución
De acuerdo con el orden tenemos:
Ordenando los polinomios con respecto a x en forma descendente y aplicando la regla de la resta resulta:
2.4.5 Multiplicación de polinomios
2.4.5.1Multiplicación de monomios
Para multiplicar dos o más monomios se aplican las reglas de los signos para dicha operación, las leyes de los exponentes y los axiomas de la multiplicación.
Para dos monomios:
1. Determinar es signo del producto
2. Multiplica los coeficientes numéricos
3. Multiplica las partes literales utilizando las leyes de los exponentes correspondientes.
Ejemplo:
a)
2.4.5.2 Multiplicación de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación; o sea, se multiplica cada término del polinomio por el monomio.
Ejemplo:
Solución
2.4.5.3 Multiplicación de un polinomio por un polinomio
Se multiplica cada término del primer polinomio por el otro polinomio.
Ejemplo:
=
=
Otra manera de multiplicar polinomios
Solución
UNIDAD III
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
3.1 Productos Notables
¿Qué es un producto Notable?
Son expresiones en las que se distinguen términos que nos permiten efectuar operaciones de forma más rápida.
3.1.1 Caso 1. Producto de binomios conjugados
Verificación
Multipliquemos por
Ejemplos:
a)
b)
c)
3.1.2 Caso 2. Cuadrado de un binomio
El producto de un binomio cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
Verificación
Por tanto.
Veamos el caso particular en el que el número literal y tenga signo negativo.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
3.1.3 Caso 3: el producto de dos binomios que tienen un término común
El producto de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del término común por la suma de los no comunes, más el producto de los términos no comunes.
Verificación
Ejemplos:
a)
b)
c)
3.1.4 Caso 4: El cubo de un binomio
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Verificación
Veamos el caso en el cual el número literal y tenga signo negativo.
3.2 Factorización
Factorizar una expresión algebraica es escribirla como el producto de sus factores. Por ejemplo, se puede expresar como:
La multiplicaión algebraica consiste en encontrar el producto de dos o más factores. En este apartado, se pretenden resolver el problema inverso; esto significa que dado un producto determinaremos sus factores.
Es importante tener presente que no todo polinomio se puede factorizar.
Ejemplos:
3.2.1 Factorización de polinomios cuando todos sus términos tienen un monomio como factor común
Cuando cada uno de los términos de un polinomio tiene un factor común, se aplica la ley distributiva de la multiplicación; donde uno de ellos es el monomio factor común.
Para efectuar este tipo de factorización se siguen los siguientes pasos:
Paso 1. Determinar el máximo factor común de los coeficientes numéricos de los términos del polinomio, el cual, es el máximo común divisor, en otras palabras, es el número que resulta del producto de los factores primos comunes a todos ellos afectados por sus potencias mínimas.
Paso 2. Encuentra el máximo factor común de las partes literales de cada uno de los términos del polinomio, el cual será el producto de los factores literales comunes a todas ellas afectadas por su mínima potencia.
Paso 3. Encuentra el máximo factor común del polinomio, el cual es el monomio que resulta al multiplicarse el máximo común divisor de los coeficientes numéricos del polinomio por el máximo factor común de las partes literales de sus términos.
Paso 4. Expresa cada uno de los términos del polinomio como el producto del máximo factor común por el monomio que resulta al dividir cada término entre dicho máximo factor común.
Paso 5. Factorizar la expresión que resulta del paso anterior aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación
Determinar el máximo fator común de los siguientes polinomios y factorízalos
a)
observa que 32 y 24 son divisible entre 8, luego este número es el máximo factor común (m.f.c.) de 8,24, y 32 (42=8x3; 32=8x4).
El m.f.c. de la parte literal es a; por consiguiente, el m.f.c. del polinomio es 8ª
De acuerdo con el m.f.c. obtenemos que:
b)
Primero descompongamos los coeficientes numéricos en sus factores primos
16
2
8
2
4
2
2
2
1
24
2
12
2
6
2
2
3
1
40
2
20
2
10
2
5
5
1
El único primo que aparece en las tres descomposiciones es el número 2 y su mínima potencia es tres; luego el m.f.c. de los coeficientes numéricos del polinomio es
Los factores comunes de las partes literales son xy y sus mínimas potencias son 3 y 2, respectivamente; por lo tanto, el m.f.c. de las partes literales es De esta manera, el máximo factor del polinomio es , luego:
3.2.2 Diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados es el inverso de multiplicar dos binomios conjugados, por lo tanto, toda expresión de este tipo puede expresarse inversamente como el producto de dos binomios conjugados. Por ejemplo:
Para factorizar una diferencia de cuadrados se siguen los siguientes pasos:
Paso 1. Extraer la raíz cuadrada a cada uno de los términos.
Paso 2. Construye un binomio con las raíces obtenidas en el paso anterior, escribiendo el signo negativo (-) o positivo entre ellas, dependiendo del caso.
Paso 3. Multiplica el binomio que resulta del paso anterior por su conjugado.
Ejemplo:
Factoriza completamente las siguientes expresiones algebraicas.
a)
Solución
Luego , o también se puede expresar, de acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
3.2.3 Diferencia de un Trinomio Cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrático es perfecto cuando es el producto de un binomio al cuadrado.
Cuando se requiere factorizar un trinomio cuadrático es recomendable verificar si se trata de un cuadrado perfecto. Para hacerlo es importante tener presente sus características:
Si el trinomio está ordenado con respecto a un literal, su primero y último términos son positivos y tienen raíz cuadrada perfecta.
El segundo término es doble del producto de las raíces de los términos cuadráticos, en el valor absoluto; es decir, sin importar el signo que le precede.
La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado del binomio que resulta al extraer la raíz cuadrada a los términos cuadráticos, escribiendo entre ellos el signo del término no cuadrático.
Verificar que los siguientes trinomios son cuadrados perfectos y factorízalos.
a)
Solución
Por consiguiente
b)
Solución
Por consiguiente
3.2.4 Factorización por agrupamiento
Cuando un polinomio consta de cuatro términos, en algunas ocasiones éstos pueden factorizarse mediante un arreglo conveniente que consiste en reescribir dicha expresión algebraica como dos binomios, agrupando adecuadamente los términos.
Factoriza completamente las siguientes expresiones:
a)
Solución
Observa que los primeros dos términos tienen como factor común el coeficiente literal b. Asimismo, los últimos dos tiene como factor común el coeficiente numérico 3.
Por lo anterior, podemos agrupar entre paréntesis los primeros dos términos del polinomio así como los dos últimos.
Observa que es factor común de los términos de la expresión anterior, luego:
b)
Observa que si agrupamos los primeros dos términos del polinomio, éstos tienen como máximo factor común el monomio 5x, luego:
De acuerdo con lo anterior, el polinomio se puede factorizar agrupando sus términos como se indica a continuación:
De donde al factorizar el primer binomio resulta:
Como es factor común de los términos del binomio anterior, entonces:
3.2.5 Factorización de suma y diferencia de cubos
Consideremos el producto
Asimismo, puede comprobarse que
Por lo tanto, para factorizar una suma de cubos en dos factores se seguirá los pasos que se mencionan a continuación:
1. El primer factor se construye como la suma de las raíces cúbicas de sus términos.
2. El segundo factor se construye sumando los cuadrados de dichas raíces cúbicas, y a dicha suma se le resta el producto de sus bases.
Ejemplos:
a) =
=
b) =
c) =
=
=
d) =
=
=
La diferencia de cubos se descompone de manera análoga, solo que:
El primer factor se construye como la diferencia de las bases de los cubos.
El segundo factor se construye como la suma de los cuadrados de dichas bases sumadas con su producto
Ejemplos:
a) =
=
=
b) =
=
=
3.2.6 Factorización de trinomios cuadráticos de la forma
Las expresiones de este tipo, por ejemplo , , etc., que son polinomios que no son primos, en otras palabras, que pueden factorizarse, resultan al multiplicar dos binomios de la forma que tienen la siguientes características:
Tienen un término común, el cual es la raíz cuadrada término es decir .
Los términos no comunes son aquellos que al sumarse dan como resultado el valor del coeficiente del término ; es decir, igual a “b” y cuyo producto es igual a “c”. De acuerdo con esto,
Ejemplo:
a) es la factorización de debido a lo siguiente:
Los binomios que se multiplican tienen la literal como término común.
El producto de los términos no comunes es de -10 .
La suma de los mismos es de .
b)
es la factorización de ya que:
Los factores (binomios) tienen a como termino común.
El producto de sus términos no comunes es .
La suma de sus términos no comunes es .
De lo anterior puede deducirse la siguiente regla para factorizar este tipo de trinomios cuadráticos:
Los factores de un trinomio cuadrático de la forma , no primo, son dos binomios con un término común , el cual se obtiene de sacar la raíz cuadrada al término cuadrático . Los otros dos términos de los binomios son dos números cuyo producto es c y cuya suma es b.
3.2.7 Factorización de trinomios cuadráticos de la forma , por agrupación, con a, b y c enteros y
Los pasos a seguir para factorizar este tipo de trinomio son:
Encuentra el producto ac.
Encuentra dos números cuyo producto sea ac y cuya suma sea b.
Con los números encontrados, reescribe el término bx como la suma algebraica de dos términos cuyos coeficientes numéricos sean los números obtenidos en el segundo paso.
Factorizar por agrupación.
Ejemplo:
a) Factorizar la expresión algebraica
Solución
Para este problema,
Paso 1.
Paso 2.
Suma de factores
1
x y +
15
16
3
5
8
-1
-15
-16
-3
-5
-8
Paso3. por lo tanto:
Paso 4.
UNIDAD IV
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
4.1 Simplificación
Simplificación: Es la representación de un expresión algebraica en sus términos mínimos; es decir, cuando su numerador y denominador sólo tienen como factor común el 1 o el -1.
Para simplificar una fracción algebraica se cancelan los factores comunes a su numerador y denominador, esto con base en la siguiente propiedad de los números racionales:
; donde son diferentes de cero.
La propiedad anterior nos indica que dad una fracción hay que factorizar completamente tanto su numerador como su denominador y cancelar los factores comunes a ambos, si los hubiera, para que quede simplificada.
4.1.1. Expresiones racionales Equivalentes
Decimos que las fracciones y con b y n diferentes de cero son equivalentes cuando representan a un mismo número, y esto se cumple si y sólo si .
a) determinar si las fracciones son equivalentes.
Solución
Luego sí son equivalentes.
4.1.2 Adición y sustracción de fracciones algebraicas
Cuando dos o más fracciones tiene el mismo número denominador se dice que son fracciones homogéneas.
Ejemplo:
Para sumar o restar fracciones homogéneas se suman o restan sus numeradores y el resultado se divide entre el denominador común, reduciéndose la expresión.
a)
b)
c)
4.1.3 Adición y sustracción de fracciones heterogéneas
Las fracciones heterogéneas son las que no tiene el mismo denominador.
Ejemplo:
Efectuar la suma y resta de las siguientes fracciones.
a)
para obtener la homogeneidad de las fracciones, se multiplica por 3 el numerador y el denominador de la fracción ; análogamente, se multiplica por x l numerador y el denominador de la fracción . A continuación se suman los numeradores y el resultado se divide entre el común denominador.
4.1.4 Multiplicación y división de fracciones algebraicas
4.1.4.1 Multiplicación
EL producto de dos o más fracciones algebraicas es otro cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
; donde
Ejemplo: Efectúa las siguientes multiplicaciones de fracciones algebraicas y simplifica.
a)
Solución
b)
Solución
4.1.4.2. División
La división de un fracción consiste en multiplicar la fracción que corresponde al dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.
Ejemplo:
a)
Solución
A continuación factoricemos los términos de la fracción anterior
ESCUELA PREPARATORIA No. 3
documento elaborado por la unidad academica no 13 de la UAN
GUIA PARA EL PRIMER CURSO DE MATEMATICA
Tepic, Nayarit, Agosto de 2007
UNIDAD I
INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA
1.1Resolución de problemas de aritmética.
1) Ricardo elabora el resumen de un artículo que leyó en el periódico, él encontró cantidades como las siguientes:
El Monte Everest tiene una altitud de 8 848 m sobre el nivel del mar.
Con equipo especial como el batiscafo se han podido explorar fosas hasta los 11 000 m bajo el nivel del mar.
Cerca de la cima de la montaña se registró una temperatura de 30° C bajo cero.
Los gastos de la expedición y el dinero asignado oficialmente, muestran una diferencia de $100 000 en contra.
2) El hospital regional difundió información sobre las precauciones para evitar diversas enfermedades. Seis personas asistieron a la primera plática informativa, cada una de estas personas compartieron la información con otras seis, las que a su vez la compartieron con seis más, ¿en la etapa final a cuántas personas llegó la información?
3) Un elevador sube de la planta baja al piso 10, después baja 6 pisos y vuelve a subir 8 pisos ¿en qué piso se encuentra el elevador?
4) Si con 5 litros de pintura vinílica se pueden pintar 65 m2, ¿cuántos litros serán necesarios para pintar una pared que tiene 715 m2?
1.2Operaciones básicas
1.2.1. Suma o Adición:
Ejemplo: 5 + 6 (aritmética)
a + b (algebraica)
Operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones aritmética o algebraicas.
1) Propiedades de la suma
a. Propiedad conmutativa
a +b = b +a;
Ejemplos: 12+ 3 = 3+ 12
5+ 8 = 8+ 15
3+ n = n+3
b. Propiedad asociativa
a + b + c = (a + b)+ c = a + (b + c)
1 + 2 +3 = (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)
1.2.2Resta o sustracción
Ejemplo:
6 – 5 (aritmética)
a – b (algebraica)
Operación que tiene por objeto quitar o sustraer a una expresión
1.2.3 Multiplicación:
Ejemplo:
6 x 5 ó 6 . 5 (aritmética)
ab ó ba (algebraica)
Operación que tiene por objeto, dadas las cantidades llamadas multiplicandas y multiplicadoras, hallar una tercera cantidad, llamada producto.
1.2.4 División:
Ejemplo:
Operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
1.3 Las leyes de los signos para la suma y la resta
1.3.1 leyes de los signos para la suma
Ejemplo:
- 9 + 2 = - 7
- 35 + 25 = - 10
Números con signo contrario se restan, prescindiendo de su signo, y al resultado se le antepone el signo del número con mayor valor absoluto.
1.3.2 Leyes de los signos para la multiplicación y la división
Ejemplo:
(-)(-) = (+) (-3) (-9) = 27
(-)(+) = (-) (-7) (8) = -56
(+)(-) = (-) (9) (-4) = -36
(+)(+)= (+) (8) (5) = 40
1.4. Números reales
Los números reales resultan de la ampliación de otros conjuntos numéricos como:
¯ Conjunto de Números naturales (N). está formulado por los números que sirven para contar.
N = { 1,2, 3, 4, 5,…}
¯ Conjunto de los enteros nó negativos.
Z = {0, 1, 2, 3,…}
¯ Conjunto de los enteros nó positivos:
Z= { -1, -2, -3, -4…}
¯ Conjunto de los números enteros (Z).
Z = {…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
1.4.1 Conjunto de los números racionales (Q)
Este conjunto lo forman todos los números de la forma:
El conjunto de números reales resulta de la ampliación de otros conjuntos de números, Ejemplo:
Números naturales (N).
N = { 1, 2 , 3, 4, 5 …}
1.4.2Conjunto de números irracionales (I).
Está formado por todos los números que no se pueden escribir como el cociente de dos enteros, ejemplos:
El conjunto de los números racionales y de los irracionales constituye el conjunto de los números reales. Que se representa por R .
1.4.3 Representación de los números reales en una recta numérica
Los números reales se pueden representar mediante los puntos de una recta numérica.
Los números enteros se representa como:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
En situaciones en las que se representan ganancias y pérdidas de dinero
Los números enteros que se representa como:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Temperaturas sobre 0° C o bajo 0° C,
Fechas antes de nuestra era
Observe en la recta numérica que todo número con signo tiene un simétrico, que se encuentra a la misma distancia del origen ( “0” ) pero en sentido opuesto.
El valor absoluto de un número es la distancia que hay entre ese número y el origen, marcado como cero en la recta numérica.El valor absoluto de –3 es 3, pues la distancia de –3 al origen 0 es 3, y se representa: -3 = 3 El valor absoluto de +3 es 3, pues es la distancia de +3 al origen 0 es 3, y se representa: +3 = 3
Todo número colocado en la recta numérica, a la derecha de otro número es mayor que éste.
EJEMPLO:
Gabriel utilizó la recta numérica para resolver un problema, localizó en ella la temperatura de 3° C y la temperatura de –8° C, después contó los espacios que se encuentran entre estos valores numéricos.
Él encontró que la diferencia de temperaturas entre 3° C y –8° C es de…?
¿Qué procedimiento siguió?
1.5 Lenguaje Algebraico
Enunciado verbal
Expresión Algebraica
El doble de un número
La diferencia de dos números
La raíz cuadrada de un número
El triple del cubo de un número
El producto de dos números
La mitad de un número
El doble de un número disminuido en 5
Actividades complementarias
Resuelve los siguientes problemas sobre números reales y coméntalos con tus compañeros de clase.
a) Ricardo tiene una cisterna a la que le caben 3 500 litros y la va a llenar con una cubeta de 35 litros, ¿cuántas veces usará la cubeta para llenar la cisterna?
b) Anastasio compró un terreno de 350 m2 en 210 000 pesos. Si al año lo vendió cobrando 650 pesos por cada metro cuadrado, ¿cuánto ganó o perdió en la venta?
c)¿Cuántos limones podrá comprar con $ 18, si en el mercado le dan 3 limones por $ 1.50?
d) Un frigorífico bajó su temperatura 40° C. Si su temperatura inicial era de 10° C bajo cero, ¿a qué temperatura se encuentra?
¿Cuál es el resultado de la suma algebraica de 25 y –32? Presione sobre el inciso correcto.
f) Tres amigos obtuvieron un premio de $ 2 479.50, si lo reparten en partes iguales, ¿qué cantidad le toca a cada uno?
En un tianguis diariamente tres camiones descargan cajas con frutas y verduras.
Del camión uno, descargan 20 cajas de calabaza, 25 cajas de chilacayote, 15 cajas de mango, 16 cajas de manzana y 3 cajas de pera.
Del camión dos descargan 23 cajas de calabaza, 16 de chilacayote, 4 de mango, 2 de guayaba y 10 de manzana.
Del camión tres descargan: 3 cajas de calabaza, 30 de manzana, 20 de mango, 50 de pera y 5 de guayaba.
En la siguiente tabla se representa el precio de cada producto con una literal.
Producto
Precio por caja($)
Calabaza
Chilacayote
Mango
Manzana
Pera
Guayaba
b
c
g
k
d
f
Exprese lo que se le pide de manera algebraica
a)Consulte la tabla y escriba el precio total de las cajas de cada uno de los camiones.
b)Escriba el precio total de las cajas de manzana que descargaron de los tres camiones.
c)Escriba el precio total de las cajas de calabazas que descargaron de los tres camiones.
d)Escriba el precio del total de cajas de frutas y verduras que descargaron de los tres camiones.
UNIDAD II
EXPRESIONES ALGEBRAICAS, NOTACIÓN EXPONENCIAL, POLINOMIOSY EXPONENTES RACIONALES
2.1 Expresiones Algebraicas
Ejemplo:
Cualquier expresión que nos indique una o varias de las operaciones algebraicas.
2.1.1 Términos Algebraicos
Las expresiones algebraicas se componen de Términos.
Cada uno de los recuadros representa un término y juntos forman un Polinomio.
2.1.1.1Elementos de un Término
o El Signo
o Coeficiente
o Coeficiente Numérico
o Parte Literal.
El coeficiente literal lo constituyen las letras del término algebraico.
o El Grado.
Es la suma de los exponentes de sus factores literales; es decir con respecto a las letras.
Ejemplo:
2.1.2 Términos Semejantes
Son aquellos que tienen la misma parte literal.
Ejemplo:
y
y
Ejemplo:
y
y
Nó son términos semejantes
2.2 Notación exponencial
2.2.1 Potenciación
Ejemplo:
5 x 5 = 25
5 x 5 x 5 = 125
5 x 5 x 5 x 5 = 625
Las potencias son el resultado que se obtiene de tomar como factor dos o más veces un número.
2.2.2Propiedades de los exponentes
Regla del producto para los exponentes
Ejemplo:
Ejemplo:
Regla:
Regla del cociente para los exponentes
Ejemplo:
Regla: donde
Regla de la base con exponente cero
Ejemplo:
Si a es un número real diferente de cero, entonces por tanto para todo
Regla del exponente negativo
Ejemplo:
Regla de la potencia de una potencia
Ejemplo:
Para todo número real.
Regla: =
Regla:
Ejemplo:
Regla: donde
Regla: , donde a y b
2.3. Exponentes Racionales
La radiación es la operación inversa de la potenciación y permite, conociendo la potencia y el exponente, hallar la base correspondiente.
Como , se dice que 6 es la raíz cuadrada de 36 y se denota por
Como , entonces se dice que 2 es la raíz cúbica de 8 y se denota por .
Regla:
Ejemplo:
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
Ahora considera que en la expresión se tiene el caso en que m= n, entonces resulta que . en esta situación es necesario puntualizar las siguientes observaciones:
Si n es impar, para todo número real b
Si n es par, entonces para todo número real > 0 y es igual a (-b) para todo número b< 0.
Ejemplos:
a) c) e)
b) d) f)
2.3.2 Notación Científica
La notación científica consiste en expresar números muy grandes o muy pequeños con la ayuda de las potencias de base 10
Caso 1: el número dado es mayor que 1.
En este caso se mueve el punto decimal hacia la izquierda y se marca a la derecha del primer digito diferente de cero.
Cantidades enteras
Nueve lugares
Catorce lugares
Siete lugares
Caso 2. El número dado es menor 1
En este caso el punto decimal se mueve hacia la derecha y se marca a la derecha del primer digito diferente de cero.
Cantidades Decimales
Cinco lugares
Nueve lugares
Tres lugares
2.4 Polinomios
2.4.1 identificación de polinomios
Un polinomio es cualquier expresión algebraica constituida por un conjunto finito de términos, en cada uno de los cuales aparecen números y letras relacionadas solamente mediante productos y potencias de exponentes que son números naturales.
Ejemplos:
En cambio, las expresiones y no son polinomios, porque contienen exponentes que no son números naturales.
2.4.2 Clasificación de polinomios
Monomio: Es un polino2mio que consta de un solo término; por ejemplo:
Binomio: Es un polinomio que consta de dos términos; por ejemplo:
Trinomio: Es un polinomio que consta de tres términos; por ejemplo:
Si consta de cuatro términos, decimos que es un polinomio de cuatro términos, asi sucesivamente.
2.4.3 Suman o sustracción de polinomios
Para efectuar la suma de dos o más polinomios se requiere reducir términos semejantes de los polinomios que se suman. Para efectuarla se pueden escribir en renglones sucesivos de tal forma que los términos semejantes queden en una misma columna y a continuación se reducen.
Es importante que los polinomios que se suman se ordenen todos con respecto a una misma letra, ya sea en forma descendente o ascendente; es decir que los exponentes de una letra escogida vayan aumentando o disminuyendo de uno a otro.
Ejemplo: Efectuar la suma de los polinomios indicados:
a) ; ;
Solución
Ordenando los polinomios en forma descendente con respecto a x y colocándolos en renglones tenemos:
De donde al reducir términos semejantes resulta:
b) ; ;
Solución
2.4.4 Resta de polinomios
La resta se puede expresa como una suma aplicando la regla:
Ejemplo:
Restar al polinomio de
solución
De acuerdo con el orden tenemos:
Ordenando los polinomios con respecto a x en forma descendente y aplicando la regla de la resta resulta:
2.4.5 Multiplicación de polinomios
2.4.5.1Multiplicación de monomios
Para multiplicar dos o más monomios se aplican las reglas de los signos para dicha operación, las leyes de los exponentes y los axiomas de la multiplicación.
Para dos monomios:
1. Determinar es signo del producto
2. Multiplica los coeficientes numéricos
3. Multiplica las partes literales utilizando las leyes de los exponentes correspondientes.
Ejemplo:
a)
2.4.5.2 Multiplicación de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación; o sea, se multiplica cada término del polinomio por el monomio.
Ejemplo:
Solución
2.4.5.3 Multiplicación de un polinomio por un polinomio
Se multiplica cada término del primer polinomio por el otro polinomio.
Ejemplo:
=
=
Otra manera de multiplicar polinomios
Solución
UNIDAD III
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
3.1 Productos Notables
¿Qué es un producto Notable?
Son expresiones en las que se distinguen términos que nos permiten efectuar operaciones de forma más rápida.
3.1.1 Caso 1. Producto de binomios conjugados
Verificación
Multipliquemos por
Ejemplos:
a)
b)
c)
3.1.2 Caso 2. Cuadrado de un binomio
El producto de un binomio cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
Verificación
Por tanto.
Veamos el caso particular en el que el número literal y tenga signo negativo.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
3.1.3 Caso 3: el producto de dos binomios que tienen un término común
El producto de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del término común por la suma de los no comunes, más el producto de los términos no comunes.
Verificación
Ejemplos:
a)
b)
c)
3.1.4 Caso 4: El cubo de un binomio
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Verificación
Veamos el caso en el cual el número literal y tenga signo negativo.
3.2 Factorización
Factorizar una expresión algebraica es escribirla como el producto de sus factores. Por ejemplo, se puede expresar como:
La multiplicaión algebraica consiste en encontrar el producto de dos o más factores. En este apartado, se pretenden resolver el problema inverso; esto significa que dado un producto determinaremos sus factores.
Es importante tener presente que no todo polinomio se puede factorizar.
Ejemplos:
3.2.1 Factorización de polinomios cuando todos sus términos tienen un monomio como factor común
Cuando cada uno de los términos de un polinomio tiene un factor común, se aplica la ley distributiva de la multiplicación; donde uno de ellos es el monomio factor común.
Para efectuar este tipo de factorización se siguen los siguientes pasos:
Paso 1. Determinar el máximo factor común de los coeficientes numéricos de los términos del polinomio, el cual, es el máximo común divisor, en otras palabras, es el número que resulta del producto de los factores primos comunes a todos ellos afectados por sus potencias mínimas.
Paso 2. Encuentra el máximo factor común de las partes literales de cada uno de los términos del polinomio, el cual será el producto de los factores literales comunes a todas ellas afectadas por su mínima potencia.
Paso 3. Encuentra el máximo factor común del polinomio, el cual es el monomio que resulta al multiplicarse el máximo común divisor de los coeficientes numéricos del polinomio por el máximo factor común de las partes literales de sus términos.
Paso 4. Expresa cada uno de los términos del polinomio como el producto del máximo factor común por el monomio que resulta al dividir cada término entre dicho máximo factor común.
Paso 5. Factorizar la expresión que resulta del paso anterior aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación
Determinar el máximo fator común de los siguientes polinomios y factorízalos
a)
observa que 32 y 24 son divisible entre 8, luego este número es el máximo factor común (m.f.c.) de 8,24, y 32 (42=8x3; 32=8x4).
El m.f.c. de la parte literal es a; por consiguiente, el m.f.c. del polinomio es 8ª
De acuerdo con el m.f.c. obtenemos que:
b)
Primero descompongamos los coeficientes numéricos en sus factores primos
16
2
8
2
4
2
2
2
1
24
2
12
2
6
2
2
3
1
40
2
20
2
10
2
5
5
1
El único primo que aparece en las tres descomposiciones es el número 2 y su mínima potencia es tres; luego el m.f.c. de los coeficientes numéricos del polinomio es
Los factores comunes de las partes literales son xy y sus mínimas potencias son 3 y 2, respectivamente; por lo tanto, el m.f.c. de las partes literales es De esta manera, el máximo factor del polinomio es , luego:
3.2.2 Diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados es el inverso de multiplicar dos binomios conjugados, por lo tanto, toda expresión de este tipo puede expresarse inversamente como el producto de dos binomios conjugados. Por ejemplo:
Para factorizar una diferencia de cuadrados se siguen los siguientes pasos:
Paso 1. Extraer la raíz cuadrada a cada uno de los términos.
Paso 2. Construye un binomio con las raíces obtenidas en el paso anterior, escribiendo el signo negativo (-) o positivo entre ellas, dependiendo del caso.
Paso 3. Multiplica el binomio que resulta del paso anterior por su conjugado.
Ejemplo:
Factoriza completamente las siguientes expresiones algebraicas.
a)
Solución
Luego , o también se puede expresar, de acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
3.2.3 Diferencia de un Trinomio Cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrático es perfecto cuando es el producto de un binomio al cuadrado.
Cuando se requiere factorizar un trinomio cuadrático es recomendable verificar si se trata de un cuadrado perfecto. Para hacerlo es importante tener presente sus características:
Si el trinomio está ordenado con respecto a un literal, su primero y último términos son positivos y tienen raíz cuadrada perfecta.
El segundo término es doble del producto de las raíces de los términos cuadráticos, en el valor absoluto; es decir, sin importar el signo que le precede.
La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado del binomio que resulta al extraer la raíz cuadrada a los términos cuadráticos, escribiendo entre ellos el signo del término no cuadrático.
Verificar que los siguientes trinomios son cuadrados perfectos y factorízalos.
a)
Solución
Por consiguiente
b)
Solución
Por consiguiente
3.2.4 Factorización por agrupamiento
Cuando un polinomio consta de cuatro términos, en algunas ocasiones éstos pueden factorizarse mediante un arreglo conveniente que consiste en reescribir dicha expresión algebraica como dos binomios, agrupando adecuadamente los términos.
Factoriza completamente las siguientes expresiones:
a)
Solución
Observa que los primeros dos términos tienen como factor común el coeficiente literal b. Asimismo, los últimos dos tiene como factor común el coeficiente numérico 3.
Por lo anterior, podemos agrupar entre paréntesis los primeros dos términos del polinomio así como los dos últimos.
Observa que es factor común de los términos de la expresión anterior, luego:
b)
Observa que si agrupamos los primeros dos términos del polinomio, éstos tienen como máximo factor común el monomio 5x, luego:
De acuerdo con lo anterior, el polinomio se puede factorizar agrupando sus términos como se indica a continuación:
De donde al factorizar el primer binomio resulta:
Como es factor común de los términos del binomio anterior, entonces:
3.2.5 Factorización de suma y diferencia de cubos
Consideremos el producto
Asimismo, puede comprobarse que
Por lo tanto, para factorizar una suma de cubos en dos factores se seguirá los pasos que se mencionan a continuación:
1. El primer factor se construye como la suma de las raíces cúbicas de sus términos.
2. El segundo factor se construye sumando los cuadrados de dichas raíces cúbicas, y a dicha suma se le resta el producto de sus bases.
Ejemplos:
a) =
=
b) =
c) =
=
=
d) =
=
=
La diferencia de cubos se descompone de manera análoga, solo que:
El primer factor se construye como la diferencia de las bases de los cubos.
El segundo factor se construye como la suma de los cuadrados de dichas bases sumadas con su producto
Ejemplos:
a) =
=
=
b) =
=
=
3.2.6 Factorización de trinomios cuadráticos de la forma
Las expresiones de este tipo, por ejemplo , , etc., que son polinomios que no son primos, en otras palabras, que pueden factorizarse, resultan al multiplicar dos binomios de la forma que tienen la siguientes características:
Tienen un término común, el cual es la raíz cuadrada término es decir .
Los términos no comunes son aquellos que al sumarse dan como resultado el valor del coeficiente del término ; es decir, igual a “b” y cuyo producto es igual a “c”. De acuerdo con esto,
Ejemplo:
a) es la factorización de debido a lo siguiente:
Los binomios que se multiplican tienen la literal como término común.
El producto de los términos no comunes es de -10 .
La suma de los mismos es de .
b)
es la factorización de ya que:
Los factores (binomios) tienen a como termino común.
El producto de sus términos no comunes es .
La suma de sus términos no comunes es .
De lo anterior puede deducirse la siguiente regla para factorizar este tipo de trinomios cuadráticos:
Los factores de un trinomio cuadrático de la forma , no primo, son dos binomios con un término común , el cual se obtiene de sacar la raíz cuadrada al término cuadrático . Los otros dos términos de los binomios son dos números cuyo producto es c y cuya suma es b.
3.2.7 Factorización de trinomios cuadráticos de la forma , por agrupación, con a, b y c enteros y
Los pasos a seguir para factorizar este tipo de trinomio son:
Encuentra el producto ac.
Encuentra dos números cuyo producto sea ac y cuya suma sea b.
Con los números encontrados, reescribe el término bx como la suma algebraica de dos términos cuyos coeficientes numéricos sean los números obtenidos en el segundo paso.
Factorizar por agrupación.
Ejemplo:
a) Factorizar la expresión algebraica
Solución
Para este problema,
Paso 1.
Paso 2.
Suma de factores
1
x y +
15
16
3
5
8
-1
-15
-16
-3
-5
-8
Paso3. por lo tanto:
Paso 4.
UNIDAD IV
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
4.1 Simplificación
Simplificación: Es la representación de un expresión algebraica en sus términos mínimos; es decir, cuando su numerador y denominador sólo tienen como factor común el 1 o el -1.
Para simplificar una fracción algebraica se cancelan los factores comunes a su numerador y denominador, esto con base en la siguiente propiedad de los números racionales:
; donde son diferentes de cero.
La propiedad anterior nos indica que dad una fracción hay que factorizar completamente tanto su numerador como su denominador y cancelar los factores comunes a ambos, si los hubiera, para que quede simplificada.
4.1.1. Expresiones racionales Equivalentes
Decimos que las fracciones y con b y n diferentes de cero son equivalentes cuando representan a un mismo número, y esto se cumple si y sólo si .
a) determinar si las fracciones son equivalentes.
Solución
Luego sí son equivalentes.
4.1.2 Adición y sustracción de fracciones algebraicas
Cuando dos o más fracciones tiene el mismo número denominador se dice que son fracciones homogéneas.
Ejemplo:
Para sumar o restar fracciones homogéneas se suman o restan sus numeradores y el resultado se divide entre el denominador común, reduciéndose la expresión.
a)
b)
c)
4.1.3 Adición y sustracción de fracciones heterogéneas
Las fracciones heterogéneas son las que no tiene el mismo denominador.
Ejemplo:
Efectuar la suma y resta de las siguientes fracciones.
a)
para obtener la homogeneidad de las fracciones, se multiplica por 3 el numerador y el denominador de la fracción ; análogamente, se multiplica por x l numerador y el denominador de la fracción . A continuación se suman los numeradores y el resultado se divide entre el común denominador.
4.1.4 Multiplicación y división de fracciones algebraicas
4.1.4.1 Multiplicación
EL producto de dos o más fracciones algebraicas es otro cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
; donde
Ejemplo: Efectúa las siguientes multiplicaciones de fracciones algebraicas y simplifica.
a)
Solución
b)
Solución
4.1.4.2. División
La división de un fracción consiste en multiplicar la fracción que corresponde al dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.
Ejemplo:
a)
Solución
A continuación factoricemos los términos de la fracción anterior
CONSTRUCTIVISMO Y APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
Constructivismo y APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS
IntroducciónConstructivismoAprendizajes SignificativosIdeas fundamentales de la concepción constructivistaLos procesos de construcción de conocimientosCondiciones necesarias para que el alumno construya aprendizajes significativosGuía para el aprendizaje significativo de determinados contenidos Diseño y planificación de la enseñanzaRol del aprendizaje del adulto en la construcción de aprendizajes significativos.
Introducción:
El aprendizaje ha orientado el trabajo de investigación e intervención de numerosos científicos sociales desde hace muchos años, por lo que han sido construidas muchas teorías que pretenden explicar dicho fenómeno social.
Destaca dentro de esta gama de tendencias explicativas el constructivismo como una de las tendencias que ha logrado establecer espacios en la investigación e intervención en educación, por su sistematicidad y sus resultados en el área del aprendizaje, a diferencia de otros enfoques, que plantean explicaciones acercadas solo al objeto de estudio y otras que solo acuden al sujeto cognoscente como razón última del aprendizaje, el constructivismo propone la interacción de ambos factores en el proceso social de la construcción del Aprendizaje significativo.
¿Qué es el constructivismo?
Un enfoque que sostiene que el individuo -tanto en los aspectos cognoscitivos y sociales del comportamiento como en los afectivos- no es un mero producto del ambiente ni un simple resultado de sus disposiciones internas, sino una construcción propia que se va produciendo día a día como resultado de la interacción entre esos dos factores. El conocimiento no es una copia de la realidad, sino una construcción del ser humano, que se realiza con los esquemas que ya posee, con lo que ya construyó en su relación con el medio que la rodea.
¿Aprendizajes significativos?
El aprendizaje significativo surge cuando el alumno, como constructor de su propio conocimiento, relaciona los conceptos a aprender y les da un sentido a partir de la estructura conceptual que ya posee. Dicho de otro modo, construye nuevos conocimientos a partir de los conocimientos que ha adquirido anteriormente. Este puede ser por descubrimiento o receptivo. Pero además construye su propio conocimiento porque quiere y está interesado en ello. El aprendizaje significativo a veces se construye al relacionar los conceptos nuevos con los conceptos que ya posee y otras al relacionar los conceptos nuevos con la experiencia que ya se tiene.
El aprendizaje significativo se da cuando las tareas están relacionadas de manera congruente y el sujeto decide aprenderlas.
Ideas fundamentales de la concepción constructivista
La concepción constructivista del aprendizaje y de la enseñanza se organiza en torno a tres ideas fundamentales:
1. El alumno es el responsable último de su propio proceso de aprendizaje. Es él quien construye el conocimiento y nadie puede sustituirle en esa tarea. La importancia prestada a la actividad del alumno no debe interpretarse en el sentido de un acto de descubrimiento o de invención sino en el sentido de que es él quien aprende y, si él no lo hace, nadie, ni siquiera el facilitador, puede hacerlo en su lugar. La enseñanza está totalmente mediatizada por la actividad mental constructiva del alumno. El alumno no es sólo activo cuando manipula, explora, descubre o inventa, sino también cuando lee o escucha las explicaciones del facilitador.
2. La actividad mental constructiva del alumno se aplica a contenidos que ya poseen un grado considerable de elaboración, es decir, que es el resultado de un cierto proceso de construcción a nivel social.
Los alumnos construyen o reconstruyen objetos de conocimiento que de hecho están construidos. Los alumnos construyen el sistema de la lengua escrita, pero este sistema ya está elaborado; los alumnos construyen las operaciones aritméticas elementales, pero estas operaciones ya están definidas; los alumnos construyen el concepto de tiempo histórico, pero este concepto forma parte del bagaje cultural existente; los alumnos construyen las normas de relación social, pero estas normas son las que regulan normalmente las relaciones entre las personas.
3. El hecho de que la actividad constructiva del alumno se aplique a unos contenidos de aprendizaje preexistente condiciona el papel que está llamado a desempeñar el facilitador. Su función no puede limitarse únicamente a crear las condiciones óptimas para que el alumno despliegue una actividad mental constructiva rica y diversa; el facilitador ha de intentar, además, orientar esta actividad con el fin de que la construcción del alumno se acerque de forma progresiva a lo que significan y representan los contenidos como saberes culturales.
Los procesos de construcción del conocimiento
Aprender un contenido implica atribuirle un significado, construir una representación o un "modelo mental" del mismo. La construcción del conocimiento supone un proceso de "elaboración" en el sentido que el alumno selecciona y organiza las informaciones que le llegan por diferentes medios, el facilitador entre otros, estableciendo relaciones entre los mismos.
En esta selección y organización de la información y en el establecimiento de la relaciones hay un elemento que ocupa un lugar privilegiado: el conocimiento previo pertinente que posee el alumno en el momento de iniciar el aprendizaje.
El alumno viene "armado" con una serie de conceptos, concepciones, representaciones y conocimientos, adquiridos en el transcurso de sus experiencias previas, que utiliza como instrumento de lectura e interpretación y que determinan qué informaciones seleccionará, cómo las organizará y qué tipos de relaciones establecerá entre ellas. Si el alumno consigue establecer relaciones sustantivas y no arbitrarias entre el nuevo material de aprendizaje y sus conocimientos previos, es decir, si lo integra en su estructura cognoscitiva, será capaz de atribuirle significados, de construirse una representación o modelo mental del mismo y, en consecuencia, habrá llevado a cabo un aprendizaje significativo.
Condiciones necesarias para que el alumno pueda llevar a cabo aprendizajes significativos:
El· contenido debe ser potencialmente significativo, tanto desde el punto de vista de su estructura interna (es la llamada significatividad lógica, que exige que el material de aprendizaje sea relevante y tenga una organización clara) como desde el punto de vista de la posibilidad de asimilarlo (es la significabilidad psicológica, que requiere la existencia en la estructura cognoscitiva del alumno, de elementos pertinentes y relacionables con el material de aprendizaje)
El alumno debe tener una· disposición favorable para aprender significativamente, es decir, debe estar motivado para relacionar el nuevo material de aprendizaje con lo que ya sabe. Se subraya la importancia de los factores motivacionales.
Estas condiciones hacen intervenir elementos que corresponden no sólo a los alumnos - el conocimiento previo - sino también al contenido del aprendizaje- su organización interna y su relevancia- y al facilitador - que tiene la responsabilidad de ayudar con su intervención al establecimiento de relaciones entre el conocimiento previo de los alumnos y el nuevo material de aprendizaje.
El aprendizaje del alumno va a ser más o menos significativo en función de las interrelaciones que se establezcan entre estos tres elementos y de lo que aporta cada uno de ellos al proceso de aprendizaje.
El énfasis en las interrelaciones y no sólo en cada uno de los elementos por separado, aparece como uno de los rasgos distintivos de la concepción constructivista del aprendizaje y de la enseñanza.
El análisis de lo que aporta inicialmente el alumno al proceso de aprendizaje se hará básicamente en términos de las "representaciones, concepciones, ideas previas, esquemas de conocimiento, modelos mentales o ideas espontáneas" del alumno a propósito del contenido concreto a aprender, puesto que son estos esquemas de conocimiento iniciales los que el facilitador va a intentar movilizar con el fin de que sean cada vez verdaderos y potentes. Del mismo modo, el análisis de lo que aporta el facilitador al proceso de aprendizaje se hará esencialmente en términos de su capacidad para movilizar estos esquemas de conocimiento iniciales, forzando su revisión y su acercamiento progresivo a lo que significan y representan los contenidos de la enseñanza como saberes culturales.
El acto mismo de aprendizaje se entenderá como un proceso de revisión, modificación, diversificación, coordinación y construcción de esquemas de conocimiento.
· Disposición para el aprendizaje: lo que un alumno es capaz de aprender, en un momento determinado, depende tanto de su nivel de competencia cognoscitiva general como de los conocimientos que ha podido construir en el transcurso de sus experiencias previas.
Son estos esquemas, su disponibilidad y sus características, los que van a determinar los posibles efectos de la enseñanza y deben revisarse y enriquecerse. La revisión no se limita al tema de la madurez o disposición para el aprendizaje. Otros aspectos, como el papel de la memoria, la mayor o menor funcionalidad de lo aprendido y la insistencia en el aprendizaje de "procesos" o "estrategias" por oposición al aprendizaje de contenidos, se ven igualmente afectados.
La idea clave es que la memorización comprensiva - por oposición a la memorización mecánica o repetitiva- es un componente básico del aprendizaje significativo. La memorización es comprensiva porque los significados construidos se incorporan a los esquemas de conocimiento, modificándolos y enriqueciéndolos.
La modificación de los esquemas de conocimiento, producida por la realización de aprendizajes significativos, se relaciona directamente con la funcionalidad del aprendizaje realizado, es decir, con la posibilidad de utilizar lo aprendido para afrontar situaciones nuevas y realizar nuevos aprendizajes. Cuanto más complejas y numerosas sean las conexiones establecidas entre el material de aprendizaje y los esquemas de conocimiento del alumno y cuanto más profunda sea su asimilación y memorización comprensiva y cuanto más sea el grado de significabilidad del aprendizaje realizado, tanto mayor será su impacto sobre la estructura cognoscitiva del alumno y, en consecuencia, tanto mayor será la probabilidad de que los significados construidos puedan ser utilizados en la realización de nuevos aprendizajes.
· Aprendizajes de procesos o estrategias: para que los alumnos alcancen el objetivo irrenunciable de aprender a aprender es necesario que desarrollen y aprendan a utilizar estrategias de exploración y descubrimiento, así como de planificación y control de la propia actividad.
La aportación del alumno al proceso de aprendizaje no se limita a un conjunto de conocimientos precisos, incluye también actitudes, motivaciones, expectativas, atribuciones, etc. cuyo origen hay que buscar, al igual que en el caso de los conocimientos previos, en las experiencias que constituyen su propia historia.
Los significados que el alumno construye a partir de la enseñanza, no dependen sólo de sus conocimientos previos pertinentes y de su puesta en relación con el nuevo material de aprendizaje, sino también del sentido que atribuye a este material y a la propia actividad del aprendizaje.
¡Como guiar la actividad constructiva del alumno hacia el aprendizaje de determinados contenidos!
La construcción del conocimiento entiende la influencia educativa en términos de ayuda prestada a la actividad constructiva del alumno y la influencia educativa eficaz en términos de un ajuste constante y sostenido de esta ayuda. Es una ayuda porque el verdadero artífice del proceso de aprendizaje es el propio alumno: es él quien va a construir los significados. La función del facilitador es ayudarle en ese cometido. Una ayuda, sin cuyo concurso es altamente improbable que se produzca la aproximación deseada entre los significados que construye el alumno y los significados que representan y vehiculan los contenidos.
En la medida que la construcción del conocimiento, que lleva a cabo el alumno, es un proceso en que los avances se entremezclan con dificultades, bloqueos e incluso, a menudo, retrocesos, cabe suponer que la ayuda requerida en cada momento será variable en forma y cantidad. En ocasiones, se dará al alumno una información organizada y estructurada; en otras, modelos de acción a imitar; en otras, formulando indicaciones y sugerencias más o menos detalladas para abordar las tareas; en otras, permitiéndole que elija y desarrolle las actividades de aprendizaje, de forma totalmente autónoma.
Los ambientes educativos, que mejor andamian o sostienen el proceso de construcción del conocimiento, son los que ajustan continuamente el tipo y la cantidad de ayuda pedagógica a los procesos y dificultades que encuentra el alumno en el transcurso de las actividades de aprendizaje. Cuando se analiza la actividad constructiva del alumno en su desarrollo y evolución, es decir, como un proceso constante de revisión, modificación, diversificación, coordinación y construcción de esquemas de conocimiento, es igualmente necesario analizar la influencia educativa en su desarrollo y evolución. De ahí el símil de "andamiaje" que llama la atención sobre el carácter cambiante y transitorio de la ayuda pedagógica eficaz.
El facilitador y el alumno gestionan conjuntamente la enseñanza y el aprendizaje en un "proceso de participación guiada". La gestión conjunta del aprendizaje y la enseñanza es un reflejo de la necesidad de tener siempre en cuenta las interrelaciones entre lo que aportan el profesor, el alumno y el contenido. Pero la gestión conjunta no implica simetría de las aportaciones: en la interacción educativa, el profesor y el alumno desempeñan papeles distintos, aunque igualmente imprescindibles y totalmente interconectados. El profesor gradúa la dificultad de las tareas y proporciona al alumno los apoyos necesarios para afrontarlas, pero esto sólo es posible porque el alumno, con sus reacciones, indica continuamente al profesor sus necesidades y su comprensión de la situación.
Cinco son los principios generales que caracterizan las situaciones de enseñanza y aprendizaje en las que se da un proceso de participación guiada (Rogoff, 1984)
1. Proporcionan al alumno un puente entre la información disponible - el conocimiento previo- y el conocimiento nuevo necesario para afrontar la situación.
2. Ofrecen una estructura de conjunto para el desarrollo de la actividad o la realización de la tarea.
3. Implican un traspaso progresivo del control, que pasa de ser ejercido casi exlusivamente por el facilitador a ser asumido por el alumno.
4. Hacen intervenir activamente al facilitador y al alumno.
5. Pueden aparecer tanto de forma explícita como implícita en las interacciones habituales entre los adultos en los diferentes contextos.
Diseño y planificación de la enseñanza
En una perspectiva constructivista, el diseño y la planificación de la enseñanza debería prestar atención simultáneamente a cuatro dimensiones:
1. Los contenidos de la enseñanza: Se sugiere que un ambiente de aprendizaje ideal debería contemplar no sólo factual, conceptual y procedimental del ámbito en cuestión sino también las estrategias de planificación, de control y de aprendizaje que caracterizan el conocimiento de los expertos en dicho ámbito.
2. Los métodos y estrategias de enseñanza: La idea clave que debe presidir su elección y articulación es la de ofrecer a los alumnos la oportunidad de adquirir el conocimiento y de practicarlo en un contexto de uso lo más realista posible.
3. La secuencia de los contenidos: De acuerdo con los principios que se derivan del aprendizaje significativo, se comienza por los elementos más generales y simples para ir introduciendo, progresivamente, los más detallados y complejos.
La organización social: Explotando adecuadamente los efectos positivos que pueden tener las relaciones entre los alumnos sobre la construcción del conocimiento, especialmente las relaciones de cooperación y de colaboración.
Rol del aprendizaje del adulto en la construcción de aprendizajes significativos
La mediación es una intervención que hace el adulto o sus compañeros cercanos para enriquecer la relación del alumno con su medio ambiente. Cuando le ofrecen variedad de situaciones, le comunican sus significados y le muestran maneras de proceder, lo ayudan a comprender y actuar en el medio.
Para que la ayuda de los mediadores sea efectiva, provocando desarrollo, es necesario que exista:
· Intencionalidad por parte del facilitador (mediador) de comunicar y enseñar con claridad lo que se quiere transmitir, produciendo un estado de alerta en el alumno.
· Reciprocidad. Se produce un aprendizaje más efectivo cuando hay un lazo de comunicación fuerte entre el facilitador y alumno.
· Trascendencia. La experiencia del alumno debe ir más allá de una situación de "aquí y ahora". El alumno puede anticipar situaciones, relacionar experiencias, tomar decisiones según lo vivido anteriormente, aplicar los conocimientos a otras problemáticas, sin requerir la actuación directa del adulto.
· Mediación del significado. Cuando los facilitadores construyen conceptos con los alumnos, los acostumbran a que ellos sigan haciéndolo en distintas situaciones. El facilitador debe invitar a poner en acción el pensamiento y la inteligencia, estableciendo relaciones o elaborando hipótesis.
· Mediación de los sentimientos de competencia y logro. Es fundamental que el alumno se sienta capaz y reconozca que este proceso le sirve para alcanzar el éxito. Esto asegura una disposición positiva para el aprendizaje y aceptación de nuevos desafíos, así tendrá confianza en que puede hacerlo bien. Afianzar sus sentimientos de seguridad y entusiasmo por aprender, es la base sobre la que se construye su autoimagen.
El reconocimiento positivo de los logros y las habilidades que han puesto en juego para realizar la actividad con éxito, aumenta la autoestima, se facilita el sentimiento de logro personal y de cooperación con otros.
Trabajo enviado por:Raymundo Calderón Sánchezrayo_966[arroba]hotmail.com
IntroducciónConstructivismoAprendizajes SignificativosIdeas fundamentales de la concepción constructivistaLos procesos de construcción de conocimientosCondiciones necesarias para que el alumno construya aprendizajes significativosGuía para el aprendizaje significativo de determinados contenidos Diseño y planificación de la enseñanzaRol del aprendizaje del adulto en la construcción de aprendizajes significativos.
Introducción:
El aprendizaje ha orientado el trabajo de investigación e intervención de numerosos científicos sociales desde hace muchos años, por lo que han sido construidas muchas teorías que pretenden explicar dicho fenómeno social.
Destaca dentro de esta gama de tendencias explicativas el constructivismo como una de las tendencias que ha logrado establecer espacios en la investigación e intervención en educación, por su sistematicidad y sus resultados en el área del aprendizaje, a diferencia de otros enfoques, que plantean explicaciones acercadas solo al objeto de estudio y otras que solo acuden al sujeto cognoscente como razón última del aprendizaje, el constructivismo propone la interacción de ambos factores en el proceso social de la construcción del Aprendizaje significativo.
¿Qué es el constructivismo?
Un enfoque que sostiene que el individuo -tanto en los aspectos cognoscitivos y sociales del comportamiento como en los afectivos- no es un mero producto del ambiente ni un simple resultado de sus disposiciones internas, sino una construcción propia que se va produciendo día a día como resultado de la interacción entre esos dos factores. El conocimiento no es una copia de la realidad, sino una construcción del ser humano, que se realiza con los esquemas que ya posee, con lo que ya construyó en su relación con el medio que la rodea.
¿Aprendizajes significativos?
El aprendizaje significativo surge cuando el alumno, como constructor de su propio conocimiento, relaciona los conceptos a aprender y les da un sentido a partir de la estructura conceptual que ya posee. Dicho de otro modo, construye nuevos conocimientos a partir de los conocimientos que ha adquirido anteriormente. Este puede ser por descubrimiento o receptivo. Pero además construye su propio conocimiento porque quiere y está interesado en ello. El aprendizaje significativo a veces se construye al relacionar los conceptos nuevos con los conceptos que ya posee y otras al relacionar los conceptos nuevos con la experiencia que ya se tiene.
El aprendizaje significativo se da cuando las tareas están relacionadas de manera congruente y el sujeto decide aprenderlas.
Ideas fundamentales de la concepción constructivista
La concepción constructivista del aprendizaje y de la enseñanza se organiza en torno a tres ideas fundamentales:
1. El alumno es el responsable último de su propio proceso de aprendizaje. Es él quien construye el conocimiento y nadie puede sustituirle en esa tarea. La importancia prestada a la actividad del alumno no debe interpretarse en el sentido de un acto de descubrimiento o de invención sino en el sentido de que es él quien aprende y, si él no lo hace, nadie, ni siquiera el facilitador, puede hacerlo en su lugar. La enseñanza está totalmente mediatizada por la actividad mental constructiva del alumno. El alumno no es sólo activo cuando manipula, explora, descubre o inventa, sino también cuando lee o escucha las explicaciones del facilitador.
2. La actividad mental constructiva del alumno se aplica a contenidos que ya poseen un grado considerable de elaboración, es decir, que es el resultado de un cierto proceso de construcción a nivel social.
Los alumnos construyen o reconstruyen objetos de conocimiento que de hecho están construidos. Los alumnos construyen el sistema de la lengua escrita, pero este sistema ya está elaborado; los alumnos construyen las operaciones aritméticas elementales, pero estas operaciones ya están definidas; los alumnos construyen el concepto de tiempo histórico, pero este concepto forma parte del bagaje cultural existente; los alumnos construyen las normas de relación social, pero estas normas son las que regulan normalmente las relaciones entre las personas.
3. El hecho de que la actividad constructiva del alumno se aplique a unos contenidos de aprendizaje preexistente condiciona el papel que está llamado a desempeñar el facilitador. Su función no puede limitarse únicamente a crear las condiciones óptimas para que el alumno despliegue una actividad mental constructiva rica y diversa; el facilitador ha de intentar, además, orientar esta actividad con el fin de que la construcción del alumno se acerque de forma progresiva a lo que significan y representan los contenidos como saberes culturales.
Los procesos de construcción del conocimiento
Aprender un contenido implica atribuirle un significado, construir una representación o un "modelo mental" del mismo. La construcción del conocimiento supone un proceso de "elaboración" en el sentido que el alumno selecciona y organiza las informaciones que le llegan por diferentes medios, el facilitador entre otros, estableciendo relaciones entre los mismos.
En esta selección y organización de la información y en el establecimiento de la relaciones hay un elemento que ocupa un lugar privilegiado: el conocimiento previo pertinente que posee el alumno en el momento de iniciar el aprendizaje.
El alumno viene "armado" con una serie de conceptos, concepciones, representaciones y conocimientos, adquiridos en el transcurso de sus experiencias previas, que utiliza como instrumento de lectura e interpretación y que determinan qué informaciones seleccionará, cómo las organizará y qué tipos de relaciones establecerá entre ellas. Si el alumno consigue establecer relaciones sustantivas y no arbitrarias entre el nuevo material de aprendizaje y sus conocimientos previos, es decir, si lo integra en su estructura cognoscitiva, será capaz de atribuirle significados, de construirse una representación o modelo mental del mismo y, en consecuencia, habrá llevado a cabo un aprendizaje significativo.
Condiciones necesarias para que el alumno pueda llevar a cabo aprendizajes significativos:
El· contenido debe ser potencialmente significativo, tanto desde el punto de vista de su estructura interna (es la llamada significatividad lógica, que exige que el material de aprendizaje sea relevante y tenga una organización clara) como desde el punto de vista de la posibilidad de asimilarlo (es la significabilidad psicológica, que requiere la existencia en la estructura cognoscitiva del alumno, de elementos pertinentes y relacionables con el material de aprendizaje)
El alumno debe tener una· disposición favorable para aprender significativamente, es decir, debe estar motivado para relacionar el nuevo material de aprendizaje con lo que ya sabe. Se subraya la importancia de los factores motivacionales.
Estas condiciones hacen intervenir elementos que corresponden no sólo a los alumnos - el conocimiento previo - sino también al contenido del aprendizaje- su organización interna y su relevancia- y al facilitador - que tiene la responsabilidad de ayudar con su intervención al establecimiento de relaciones entre el conocimiento previo de los alumnos y el nuevo material de aprendizaje.
El aprendizaje del alumno va a ser más o menos significativo en función de las interrelaciones que se establezcan entre estos tres elementos y de lo que aporta cada uno de ellos al proceso de aprendizaje.
El énfasis en las interrelaciones y no sólo en cada uno de los elementos por separado, aparece como uno de los rasgos distintivos de la concepción constructivista del aprendizaje y de la enseñanza.
El análisis de lo que aporta inicialmente el alumno al proceso de aprendizaje se hará básicamente en términos de las "representaciones, concepciones, ideas previas, esquemas de conocimiento, modelos mentales o ideas espontáneas" del alumno a propósito del contenido concreto a aprender, puesto que son estos esquemas de conocimiento iniciales los que el facilitador va a intentar movilizar con el fin de que sean cada vez verdaderos y potentes. Del mismo modo, el análisis de lo que aporta el facilitador al proceso de aprendizaje se hará esencialmente en términos de su capacidad para movilizar estos esquemas de conocimiento iniciales, forzando su revisión y su acercamiento progresivo a lo que significan y representan los contenidos de la enseñanza como saberes culturales.
El acto mismo de aprendizaje se entenderá como un proceso de revisión, modificación, diversificación, coordinación y construcción de esquemas de conocimiento.
· Disposición para el aprendizaje: lo que un alumno es capaz de aprender, en un momento determinado, depende tanto de su nivel de competencia cognoscitiva general como de los conocimientos que ha podido construir en el transcurso de sus experiencias previas.
Son estos esquemas, su disponibilidad y sus características, los que van a determinar los posibles efectos de la enseñanza y deben revisarse y enriquecerse. La revisión no se limita al tema de la madurez o disposición para el aprendizaje. Otros aspectos, como el papel de la memoria, la mayor o menor funcionalidad de lo aprendido y la insistencia en el aprendizaje de "procesos" o "estrategias" por oposición al aprendizaje de contenidos, se ven igualmente afectados.
La idea clave es que la memorización comprensiva - por oposición a la memorización mecánica o repetitiva- es un componente básico del aprendizaje significativo. La memorización es comprensiva porque los significados construidos se incorporan a los esquemas de conocimiento, modificándolos y enriqueciéndolos.
La modificación de los esquemas de conocimiento, producida por la realización de aprendizajes significativos, se relaciona directamente con la funcionalidad del aprendizaje realizado, es decir, con la posibilidad de utilizar lo aprendido para afrontar situaciones nuevas y realizar nuevos aprendizajes. Cuanto más complejas y numerosas sean las conexiones establecidas entre el material de aprendizaje y los esquemas de conocimiento del alumno y cuanto más profunda sea su asimilación y memorización comprensiva y cuanto más sea el grado de significabilidad del aprendizaje realizado, tanto mayor será su impacto sobre la estructura cognoscitiva del alumno y, en consecuencia, tanto mayor será la probabilidad de que los significados construidos puedan ser utilizados en la realización de nuevos aprendizajes.
· Aprendizajes de procesos o estrategias: para que los alumnos alcancen el objetivo irrenunciable de aprender a aprender es necesario que desarrollen y aprendan a utilizar estrategias de exploración y descubrimiento, así como de planificación y control de la propia actividad.
La aportación del alumno al proceso de aprendizaje no se limita a un conjunto de conocimientos precisos, incluye también actitudes, motivaciones, expectativas, atribuciones, etc. cuyo origen hay que buscar, al igual que en el caso de los conocimientos previos, en las experiencias que constituyen su propia historia.
Los significados que el alumno construye a partir de la enseñanza, no dependen sólo de sus conocimientos previos pertinentes y de su puesta en relación con el nuevo material de aprendizaje, sino también del sentido que atribuye a este material y a la propia actividad del aprendizaje.
¡Como guiar la actividad constructiva del alumno hacia el aprendizaje de determinados contenidos!
La construcción del conocimiento entiende la influencia educativa en términos de ayuda prestada a la actividad constructiva del alumno y la influencia educativa eficaz en términos de un ajuste constante y sostenido de esta ayuda. Es una ayuda porque el verdadero artífice del proceso de aprendizaje es el propio alumno: es él quien va a construir los significados. La función del facilitador es ayudarle en ese cometido. Una ayuda, sin cuyo concurso es altamente improbable que se produzca la aproximación deseada entre los significados que construye el alumno y los significados que representan y vehiculan los contenidos.
En la medida que la construcción del conocimiento, que lleva a cabo el alumno, es un proceso en que los avances se entremezclan con dificultades, bloqueos e incluso, a menudo, retrocesos, cabe suponer que la ayuda requerida en cada momento será variable en forma y cantidad. En ocasiones, se dará al alumno una información organizada y estructurada; en otras, modelos de acción a imitar; en otras, formulando indicaciones y sugerencias más o menos detalladas para abordar las tareas; en otras, permitiéndole que elija y desarrolle las actividades de aprendizaje, de forma totalmente autónoma.
Los ambientes educativos, que mejor andamian o sostienen el proceso de construcción del conocimiento, son los que ajustan continuamente el tipo y la cantidad de ayuda pedagógica a los procesos y dificultades que encuentra el alumno en el transcurso de las actividades de aprendizaje. Cuando se analiza la actividad constructiva del alumno en su desarrollo y evolución, es decir, como un proceso constante de revisión, modificación, diversificación, coordinación y construcción de esquemas de conocimiento, es igualmente necesario analizar la influencia educativa en su desarrollo y evolución. De ahí el símil de "andamiaje" que llama la atención sobre el carácter cambiante y transitorio de la ayuda pedagógica eficaz.
El facilitador y el alumno gestionan conjuntamente la enseñanza y el aprendizaje en un "proceso de participación guiada". La gestión conjunta del aprendizaje y la enseñanza es un reflejo de la necesidad de tener siempre en cuenta las interrelaciones entre lo que aportan el profesor, el alumno y el contenido. Pero la gestión conjunta no implica simetría de las aportaciones: en la interacción educativa, el profesor y el alumno desempeñan papeles distintos, aunque igualmente imprescindibles y totalmente interconectados. El profesor gradúa la dificultad de las tareas y proporciona al alumno los apoyos necesarios para afrontarlas, pero esto sólo es posible porque el alumno, con sus reacciones, indica continuamente al profesor sus necesidades y su comprensión de la situación.
Cinco son los principios generales que caracterizan las situaciones de enseñanza y aprendizaje en las que se da un proceso de participación guiada (Rogoff, 1984)
1. Proporcionan al alumno un puente entre la información disponible - el conocimiento previo- y el conocimiento nuevo necesario para afrontar la situación.
2. Ofrecen una estructura de conjunto para el desarrollo de la actividad o la realización de la tarea.
3. Implican un traspaso progresivo del control, que pasa de ser ejercido casi exlusivamente por el facilitador a ser asumido por el alumno.
4. Hacen intervenir activamente al facilitador y al alumno.
5. Pueden aparecer tanto de forma explícita como implícita en las interacciones habituales entre los adultos en los diferentes contextos.
Diseño y planificación de la enseñanza
En una perspectiva constructivista, el diseño y la planificación de la enseñanza debería prestar atención simultáneamente a cuatro dimensiones:
1. Los contenidos de la enseñanza: Se sugiere que un ambiente de aprendizaje ideal debería contemplar no sólo factual, conceptual y procedimental del ámbito en cuestión sino también las estrategias de planificación, de control y de aprendizaje que caracterizan el conocimiento de los expertos en dicho ámbito.
2. Los métodos y estrategias de enseñanza: La idea clave que debe presidir su elección y articulación es la de ofrecer a los alumnos la oportunidad de adquirir el conocimiento y de practicarlo en un contexto de uso lo más realista posible.
3. La secuencia de los contenidos: De acuerdo con los principios que se derivan del aprendizaje significativo, se comienza por los elementos más generales y simples para ir introduciendo, progresivamente, los más detallados y complejos.
La organización social: Explotando adecuadamente los efectos positivos que pueden tener las relaciones entre los alumnos sobre la construcción del conocimiento, especialmente las relaciones de cooperación y de colaboración.
Rol del aprendizaje del adulto en la construcción de aprendizajes significativos
La mediación es una intervención que hace el adulto o sus compañeros cercanos para enriquecer la relación del alumno con su medio ambiente. Cuando le ofrecen variedad de situaciones, le comunican sus significados y le muestran maneras de proceder, lo ayudan a comprender y actuar en el medio.
Para que la ayuda de los mediadores sea efectiva, provocando desarrollo, es necesario que exista:
· Intencionalidad por parte del facilitador (mediador) de comunicar y enseñar con claridad lo que se quiere transmitir, produciendo un estado de alerta en el alumno.
· Reciprocidad. Se produce un aprendizaje más efectivo cuando hay un lazo de comunicación fuerte entre el facilitador y alumno.
· Trascendencia. La experiencia del alumno debe ir más allá de una situación de "aquí y ahora". El alumno puede anticipar situaciones, relacionar experiencias, tomar decisiones según lo vivido anteriormente, aplicar los conocimientos a otras problemáticas, sin requerir la actuación directa del adulto.
· Mediación del significado. Cuando los facilitadores construyen conceptos con los alumnos, los acostumbran a que ellos sigan haciéndolo en distintas situaciones. El facilitador debe invitar a poner en acción el pensamiento y la inteligencia, estableciendo relaciones o elaborando hipótesis.
· Mediación de los sentimientos de competencia y logro. Es fundamental que el alumno se sienta capaz y reconozca que este proceso le sirve para alcanzar el éxito. Esto asegura una disposición positiva para el aprendizaje y aceptación de nuevos desafíos, así tendrá confianza en que puede hacerlo bien. Afianzar sus sentimientos de seguridad y entusiasmo por aprender, es la base sobre la que se construye su autoimagen.
El reconocimiento positivo de los logros y las habilidades que han puesto en juego para realizar la actividad con éxito, aumenta la autoestima, se facilita el sentimiento de logro personal y de cooperación con otros.
Trabajo enviado por:Raymundo Calderón Sánchezrayo_966[arroba]hotmail.com
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