la recta
UTILIZAS DISTINTAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
La línea recta presenta como característica que todos sus puntos tienen la misma direccion.Cuando se coloca sobre un eje cartesiano, su dirección estará en función del ángulo que forma con el eje ¨x¨. La ecuación que representa su lugar geométrico tiene variables cuyo exponente es1, y las relaciona de manera que se puede obtener el valor de una en función de la otra, por medio de la ecuación.
La línea recta se ha definido geométricamente como la distancia más corta entre dos puntos. Analíticamente es una ecuación lineal (de grado uno) con dos variables, (x /y).
FORMA PUNTO-PENDIENTE
Es posible graficar una recta si se conocen su inclinación y al menos un punto por donde pasa. Sin embargo existen diferentes maneras de encontrar la ecuación de la recta, dependiendo de los datos que se tengan o de la información que se busque. Otro problema por resolver es obtener la grafica a partir de la ecuación. Con el valor de la pendiente y el punto por donde pasa son algunos de los elementos necesarios para encontrar la ecuación del lugar geométrico de una línea recta.
ECUACIÓN DE UNA RECTA CONOCIDOS SU PENDIENTE Y UNO DE SUS PUNTOS
Una recta se puede definir por completo cuando conocemos uno de sus puntos y su dirección (pendiente y/o ángulo de inclinación), ya que con esos datos la podemos graficar; la ecuación de la recta y analíticamente, se puede determinar cuando se conocen esos mismos datos (una de sus coordenadas y ángulo de inclinación o pendiente).
La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente (m) dada, está determinada por:
y - y1=m (x - x1)
Y se puede demostrar como sigue:
Si tomamos los puntos P(x,y) y P1(x1, y1) de una recta cualquiera y graficamos dichos puntos aleatoriamente, entonces obtendremos lo siguiente:
y2 - y1
La pendiente de la recta es: m=------------
x 2- x1
(nota los numeros 1 y 2 poner como subindice)
Si quitamos el denominador, resulta: y - y1=m (x - x1)
Formula para obtener la ecuación de la recta
de la forma punto-pendiente.
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miércoles, 21 de septiembre de 2011
sábado, 27 de septiembre de 2008
MATEMATICAS SEGUNDO GRADO
PROGRAMA DE MATEMATICAS III
Para ver el tema presionar el enlace correspondiente.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS http://soko.com.ar/matem/matematica/func_trig.htm
Unidad I
Geometría euclidiana o métrica.
Geometría basada en los postulados de Euclides. Además de estudiar los problemas afines de los objetos geométricos –incidencia, intersección y paralelismo-, se ocupa de los problemas geométricos de medida, tales como el cálculo de longitudes, distancias, áreas y volúmenes y medición de ángulos. Para ello es preciso un instrumento algebraico: el producto escalar, lo que equivale geométricamente al uso del compás, además de la escuadra y el cartabón.
Considera en general el estudio basado en la experiencia diaria, por lo que toma en cuenta tres dimensiones. Dos puntos fundamentales la definen:
1.- dos rectas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y al prolongarse en forma indefinida en ambas direcciones jamás se llegan a cortar.
2.- por un punto exterior a una curva dada se puede trazar una y solo una recta paralela.
1.1 Elementos Geométricos.
Punto.- concepto geométrico no definido que carece de dimensiones: longitud, anchura y espesor; su idea puede sugerirse mediante la huella que deja un lapiz en el papel.
Linea:- concepto geométrico nodefinido que posee una sola dimensio: logitud pero carece de anchura y espesor. Se denota designando dos de sus puntos con letra mayúscula o bien con una letra minúscula cerca de ella. ------A--------------D---------- r se lee recta AD y se escribe AD
Plano.- una superficie como la de una pared o la de un piso, nos sugiere la idea de un plano. Generalmente se designa con una letra mayúscula P a la cual precede la palabra plano (Plano P) o tres de sus puntos no alineados A B C .
ELEMENTO.- cada una de las partes que forman una figura. Punto como una parte infinitamente pequeña de una curva, una recta, una superficie o un volumen. Ente que pertenece a un conjunto.
GEOMETRIA.-es el arte y la ciencia de la descripción y la medida del espacio. Parte de la matemáticas que se encarga del estudio de las líneas, figuras y cuerpos, incluyendo su teoría y su aplicación en las creaciones sobre papel.
1.2 Razones y proporciones
Razón. Geométrica-
relación existente entre dos cantidades, una de las cuales se ha de dividir entre la otra.
A la razón de lados homólogos se le llama razón de semejanza.
Proporción.- es la igualdad de dos razones geométricas, es decir:
a/b = c/d
a:b :: c:d
Proporción, en aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee "12 es a 3 como 8 es a 2". En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética está basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción continua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2:4::4:8 y 4:8::8:16.
En la antigua Grecia, la teoría de números no era adecuada para describir aritméticamente las magnitudes geométricas. Por tanto, el astrónomo y matemático griego Eudoxo propuso una teoría separada para la proporción geométrica en el siglo IV a. C. Una descripción detallada de esta teoría, escrita por el matemático griego Euclides, se puede encontrar en los libros quinto y sexto de los Elementos de geometría.
PROPORCIONALIDAD. Cuando tomamos una foto, los objetos y las personas reproducidos son mucho más pequeños que los de la realidad. Sin embargo, todos sabemos que, aunque el tamaño es diferente, las proporciones son las mismas.
Esta idea de proporcionalidad surge de comparar cantidades, y conocer sus propiedades permite resolver situaciones sencillas.
Por ejemplo, una cocinera que debe calcular los ingredientes para preparar la comida o para un número determinado de comensales.
O el dinero que debe pagar un comerciante según sea la cantidad de mercancía que compra.
O los metros de genero que se deben utilizar para confeccionar un numero X de prendas.
Pero las propiedades de la proporcionalidad también se aplican a la resolución de complicados problemas económicos, tecnológicos y científicos, ya que en esas ramas se opera con diferentes magnitudes.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS RAZONES GEOMETRICAS.- Una razón geométrica no se altera cuando se multiplican o dividen sus dos términos por un mismo número.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES:
En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Y Recíprocamente, dados cuatro números cualquiera a,b,c,d,
1.3 triángulos
Triangulo.- Polígono de tres lados. Es una poligonal cerrada formada por tres segmentos consecutivos y todos sus puntos interiores
Clasificación de triángulos
Por sus lados:
Triangulo equilátero.- cuando sus tres lados y sus tres ángulos son iguales.
Triangulo isósceles.- con dos lados y dos ángulos iguales.
Triangulo escaleno.- tiene todos sus lados distintos
Por sus ángulos:
Triangulo rectángulo.- dicese del triangulo que tiene un Angulo recto o de 900. Sobre este tipo de triangulo se estudia el teorema de Pitágoras y las funciones trigonometricas básicas. en este triangulo sus lados tienen nombres especiales. CATETO, CATETO E HIPOTENUSA.
Triangulo Obtusángulo.- Cuando uno de sus ángulos es obtuso, o sea, que mide más de 900 y menos de 1800
Triangulo Esférico.- triangulo trazado sobre una esfera.
Triangulo Escaleno.- cuando sus tres lados son desiguales.
Triangulo Acutángulo.- cuando sus tres ángulos son agudos.
Triangulo Curvilíneo.- Cuando sus tres lados son Curvas.
EL PERIMETRO DE UN TRIANGULO ES LA SUMA DE LAS LONGITUDES DE SUS LADOS.
*LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO ES IGUAL A 1800
1.4 triángulos semejantes.
Triángulos semejantes: dos triángulos son semejantes si poseen los tres ángulos con las medidas respectivamente iguales. De forma idéntica pero de magnitudes diferentes.
PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO
Alturas de un triangulo.- se llama altura de un triangulo al segmento perpendicular a cada lado que se une con el vértice opuesto, y se designa con la letra (h).
Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.
Bisectriz de un triangulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales., y el punto donde se cortan se llama incentro.
Se llaman medianas de un triangulo a los segmentos determinados por cada vértice y el punto medio del lado opuesto.
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por un punto medio. Las mediatrices de un triangulo son las mediatrices de cada uno de sus lados.
1.3.2 TEOREMA DE PITAGORAS
Demostró que en todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
c2=a2+b2 donde c es la hipotenusa
El triangulo ha sido una de las figuras geométricas que mas intereso a lo largo de la historia.
Hace más de 2000 años que los hombres le descubrieron una propiedad fundamental: se trata de un polígono rígido, o sea que no se puede deformar. Es por eso que se lo ha utilizado en numerosas construcciones.
1.4 POLIGONOS
Figura plana de varios ángulos limitada por líneas rectas o curvas. La figura formada por los puntos de la poligonal cerrada que le sirve de borde y todos los puntos de la región interior a ella.
Figuras de: triangulo, cuadrado, pentágono, hexágono etc.
Pentágono.- polígono de cinco caras y cinco ángulos. En el pentágono regular cada ángulo interior mide 720.
ELEMENTOS DE UN POLIGONO:
Polígono abcde
VERTICES: extremo de los segmentos que determinan la poligonal. Son a, b, c, d, e.
__ __ __ __ __
LADOS: cada segmento de la poligonal es un lado. Son: ab, bc, cd, de, ea.
ANGULOS INTERIORES: están determinados por dos lados consecutivos de la poligonal. Son:
^ ^ ^ ^
a, b, c, d, e. ^ ^ ^ ^ ^
ANGULOS EXTERIORES: son los adyacentes a los interiores. Son a b j d e
DIAGONALES: se llama diagonal al segmento determinado por dos vértices no consecutivos.
__ __ __ __ __
Son: ac, ad, db, be, ce.
Calculando diagonales:
En este polígono es fácil determinar sus diagonales y contarlas, pero si se incrementa el número de lados de un polígono nos daría una imagen confusa, por lo que existe una forma analítica de determinarlo por medio de la formula: n(n-3)
NTD (numero total de diagonales) NTD=---------------
2
Todo polígono se puede inscribir en una circunferencia. Es decir que hay una circunferencia que pasa por sus vértices.
El ángulo central de un polígono tiene el vértice en el centro del polígono y de la circunferencia en el que esta inscripto.
Los lados del ángulo son dos radios consecutivos de la circunferencia.
Para construir polígonos regulares:
a).-Se traza una circunferencia.
b).- Dividimos al ángulo central (3600) por el numero de lados.
1.5 CIRCUNFERENCIA
UN POCO DE HISTORIA:
El círculo ha sido muy importante para el desarrollo de la humanidad por sus aplicaciones en la ciencia y en la técnica. El descubrimiento de la rueda hace miles de anos atrás fue uno de los mayores logros. Su utilización como medio de transporte disminuyo notablemente el rozamiento por arrastre. Como elemento de una maquina se empleo para poleas, prensas y tornos en el siglo VII a.C. A partir de la revolución Industrial, tuvo nuevos usos.
Los matemáticos griegos se dedicaron al estudio aritmético y geométrico del círculo.
o R
En el siglo II a. C. Arquímedes dedujo el valor de (pi). Mas tarde, EUCLIDES, matemático griego del siglo IV, escribió las formulas de la longitud de la circunferencia y del área del circulo en su obra Elementos.
región interior REGION EXTERIOR
Se llama circunferencia de centro “o” y radio R a todos los puntos del plano que están a la misma distancia de “o”
Radio.- segmento comprendido entre el centro de la circunferencia y la misma.
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
Si una recta A corta en dos puntos; se dice que es una recta secante.
Si una recta B corta en un punto; se dice que B es una recta Tangente.
Si la recta C no corta en ningún punto; se dice que C es una recta exterior.
1.6 CIRCULO
o R
Se llama circulo de centro “o” y radio R a todos los puntos de la circunferencia y todos los interiores a misma.
1.7 AREAS Y VOLUMENES
El teorema de Pitágoras
1. Introducción.
2. Desarrollo.
3. Ejercicios
4. Medición practica de los catetos e hipotenusa a través del teorema de Pitágoras.
5. Bibliografía
INTRODUCCION.
Uno de los teoremas milenarios más importantes es sin duda alguna el teorema de Pitágoras.
Gracias a éste se han resuelto infinidad de problemas prácticos que han incidido en el mejoramiento del nivel de vida de la humanidad.
DESARROLLO.
Pitágoras. Filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaximedes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.c. se instaló en Trotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce solo a través de la obra de sus discípulos.
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo.
Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Se dice que el mismo Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorphus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus experiencias previas.
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números.
Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas.
Se dice que Pitágoras fue discípulo de Tales, pero apartándose de la escuela jónica fundó en Crotona Italia la escuela Pitagórica.
Los egipcios conocieron la propiedad del triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades de longitud, en los que se verifica la relación 52 = 32 + 42 , pero el descubrimiento de la relación a2 = b2 + c2 para cualquier triángulo rectángulo y su demostración se debe indiscutiblemente a Pitágoras.
Se atribuye también a la escuela pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo y la construcción geométrica del polígono estrellado de 5 lados.
El teorema de Pitágoras nos dice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Donde los catetos son los lados del triángulo que forman el ángulo recto.
La hipotenusa es el lado opuesto del ángulo recto.
Catetos
Matemáticamente :
Llamémosle "a" a uno de los catetos y "b" al otro cateto, "c" a la hipotenusa, entonces:
C =
O si queremos los catetos a o b:
A=
B=
EJEMPLOS:
Encontrar lo que se pide dados los datos siguientes:
1).-a = 3 c =
b = 4 c = =5
2).- a = 15 c = =25
b = 20
3).- a =2 b =
c =5 b = =
4).- b =3 a =
c =6 a=
EJERCICIOS:
Encontrar lo que se pide:
1).- a = ? si b = 5 c = 8
2).- b = ? si a =3 c = 10
3).- c = ? si a = 10 b = 15
4).- a = ? si b = 7 c = 9
5).- b = ? si a = 6 c = 10
6).- c = ? si a = 13 b = 10
7).- a = ? si b =2 c = 10
8).- b = ? si a = 5 c = 15
9).- c = ? si a = 7 b = 8
10).- a = ? si b = 15 c = 20
MEDICION PRACTICA DE LOS CATETOS E HIPOTENUSA A TRAVES DEL TEOREMA DE PITAGORAS.
En el ejemplo 1) se calculó la hipotenusa del triángulo perfecto cuyos catetos tienen una longitud de 3 y 4 unidades y su hipotenusa de 5 unidades.
Constatemos físicamente ese cálculo. Dibujamos un cateto que mida 3 centímetros y lo trazamos horizontalmente, después trazamos otro de 4 centímetros perpendicularmente al cateto 3 centímetros en cualquiera de los extremos y después dibujamos una línea para unir los dos catetos (esa línea es la hipotenusa).
Enseguida, si medimos esa línea llamada hipotenusa encontraremos que vale 5 centímetros que es los que se había calculado previamente con el teorema de Pitágoras.
BIBLIOGRAFIA
Álgebra
Baldor
Editorial Mc Graw Hill.
Enciclopedia Encarta 2000
Apuntes personales
JORGE LUIS LEDEZMA HERNANDEZ
jorgeluisledezma63@hotmail.com
Ingeniero industrial en electrica
Docente en la especialidad de mantenimiento y electromecanica en el Centro de Bachillerato Industrial y de servicios # 54 de cd Acuña. en cd Acuña coahuila Mexico.
Catedratico del Instituto Tecnologico Superior de Acuña en la especialidad de ingenieria electromecanica e ingenieria industrial.
actualmente cursando la maestria en productividad en la Universidad autónoma del Noreste.
Comentarios
Reducción al primer cuadrante
Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo cualquiera a su equivalente de un ángulo del primer cuadrante. Para tal efecto, vamos a deducir las fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También, vamos a constatar que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer cuadrante, son iguales a las cofunciones del ángulo complementario". Además, vamos a calcular las funciones trigonométricas del negativo de un ángulo.
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS http://soko.com.ar/matem/matematica/func_trig.htm
Unidad I
Geometría euclidiana o métrica.
Geometría basada en los postulados de Euclides. Además de estudiar los problemas afines de los objetos geométricos –incidencia, intersección y paralelismo-, se ocupa de los problemas geométricos de medida, tales como el cálculo de longitudes, distancias, áreas y volúmenes y medición de ángulos. Para ello es preciso un instrumento algebraico: el producto escalar, lo que equivale geométricamente al uso del compás, además de la escuadra y el cartabón.
Considera en general el estudio basado en la experiencia diaria, por lo que toma en cuenta tres dimensiones. Dos puntos fundamentales la definen:
1.- dos rectas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y al prolongarse en forma indefinida en ambas direcciones jamás se llegan a cortar.
2.- por un punto exterior a una curva dada se puede trazar una y solo una recta paralela.
1.1 Elementos Geométricos.
Punto.- concepto geométrico no definido que carece de dimensiones: longitud, anchura y espesor; su idea puede sugerirse mediante la huella que deja un lapiz en el papel.
Linea:- concepto geométrico nodefinido que posee una sola dimensio: logitud pero carece de anchura y espesor. Se denota designando dos de sus puntos con letra mayúscula o bien con una letra minúscula cerca de ella. ------A--------------D---------- r se lee recta AD y se escribe AD
Plano.- una superficie como la de una pared o la de un piso, nos sugiere la idea de un plano. Generalmente se designa con una letra mayúscula P a la cual precede la palabra plano (Plano P) o tres de sus puntos no alineados A B C .
ELEMENTO.- cada una de las partes que forman una figura. Punto como una parte infinitamente pequeña de una curva, una recta, una superficie o un volumen. Ente que pertenece a un conjunto.
GEOMETRIA.-es el arte y la ciencia de la descripción y la medida del espacio. Parte de la matemáticas que se encarga del estudio de las líneas, figuras y cuerpos, incluyendo su teoría y su aplicación en las creaciones sobre papel.
1.2 Razones y proporciones
Razón. Geométrica-
relación existente entre dos cantidades, una de las cuales se ha de dividir entre la otra.
A la razón de lados homólogos se le llama razón de semejanza.
Proporción.- es la igualdad de dos razones geométricas, es decir:
a/b = c/d
a:b :: c:d
Proporción, en aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee "12 es a 3 como 8 es a 2". En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética está basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción continua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2:4::4:8 y 4:8::8:16.
En la antigua Grecia, la teoría de números no era adecuada para describir aritméticamente las magnitudes geométricas. Por tanto, el astrónomo y matemático griego Eudoxo propuso una teoría separada para la proporción geométrica en el siglo IV a. C. Una descripción detallada de esta teoría, escrita por el matemático griego Euclides, se puede encontrar en los libros quinto y sexto de los Elementos de geometría.
PROPORCIONALIDAD. Cuando tomamos una foto, los objetos y las personas reproducidos son mucho más pequeños que los de la realidad. Sin embargo, todos sabemos que, aunque el tamaño es diferente, las proporciones son las mismas.
Esta idea de proporcionalidad surge de comparar cantidades, y conocer sus propiedades permite resolver situaciones sencillas.
Por ejemplo, una cocinera que debe calcular los ingredientes para preparar la comida o para un número determinado de comensales.
O el dinero que debe pagar un comerciante según sea la cantidad de mercancía que compra.
O los metros de genero que se deben utilizar para confeccionar un numero X de prendas.
Pero las propiedades de la proporcionalidad también se aplican a la resolución de complicados problemas económicos, tecnológicos y científicos, ya que en esas ramas se opera con diferentes magnitudes.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS RAZONES GEOMETRICAS.- Una razón geométrica no se altera cuando se multiplican o dividen sus dos términos por un mismo número.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES:
En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Y Recíprocamente, dados cuatro números cualquiera a,b,c,d,
1.3 triángulos
Triangulo.- Polígono de tres lados. Es una poligonal cerrada formada por tres segmentos consecutivos y todos sus puntos interiores
Clasificación de triángulos
Por sus lados:
Triangulo equilátero.- cuando sus tres lados y sus tres ángulos son iguales.
Triangulo isósceles.- con dos lados y dos ángulos iguales.
Triangulo escaleno.- tiene todos sus lados distintos
Por sus ángulos:
Triangulo rectángulo.- dicese del triangulo que tiene un Angulo recto o de 900. Sobre este tipo de triangulo se estudia el teorema de Pitágoras y las funciones trigonometricas básicas. en este triangulo sus lados tienen nombres especiales. CATETO, CATETO E HIPOTENUSA.
Triangulo Obtusángulo.- Cuando uno de sus ángulos es obtuso, o sea, que mide más de 900 y menos de 1800
Triangulo Esférico.- triangulo trazado sobre una esfera.
Triangulo Escaleno.- cuando sus tres lados son desiguales.
Triangulo Acutángulo.- cuando sus tres ángulos son agudos.
Triangulo Curvilíneo.- Cuando sus tres lados son Curvas.
EL PERIMETRO DE UN TRIANGULO ES LA SUMA DE LAS LONGITUDES DE SUS LADOS.
*LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO ES IGUAL A 1800
1.4 triángulos semejantes.
Triángulos semejantes: dos triángulos son semejantes si poseen los tres ángulos con las medidas respectivamente iguales. De forma idéntica pero de magnitudes diferentes.
PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO
Alturas de un triangulo.- se llama altura de un triangulo al segmento perpendicular a cada lado que se une con el vértice opuesto, y se designa con la letra (h).
Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.
Bisectriz de un triangulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales., y el punto donde se cortan se llama incentro.
Se llaman medianas de un triangulo a los segmentos determinados por cada vértice y el punto medio del lado opuesto.
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por un punto medio. Las mediatrices de un triangulo son las mediatrices de cada uno de sus lados.
1.3.2 TEOREMA DE PITAGORAS
Demostró que en todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
c2=a2+b2 donde c es la hipotenusa
El triangulo ha sido una de las figuras geométricas que mas intereso a lo largo de la historia.
Hace más de 2000 años que los hombres le descubrieron una propiedad fundamental: se trata de un polígono rígido, o sea que no se puede deformar. Es por eso que se lo ha utilizado en numerosas construcciones.
1.4 POLIGONOS
Figura plana de varios ángulos limitada por líneas rectas o curvas. La figura formada por los puntos de la poligonal cerrada que le sirve de borde y todos los puntos de la región interior a ella.
Figuras de: triangulo, cuadrado, pentágono, hexágono etc.
Pentágono.- polígono de cinco caras y cinco ángulos. En el pentágono regular cada ángulo interior mide 720.
ELEMENTOS DE UN POLIGONO:
Polígono abcde
VERTICES: extremo de los segmentos que determinan la poligonal. Son a, b, c, d, e.
__ __ __ __ __
LADOS: cada segmento de la poligonal es un lado. Son: ab, bc, cd, de, ea.
ANGULOS INTERIORES: están determinados por dos lados consecutivos de la poligonal. Son:
^ ^ ^ ^
a, b, c, d, e. ^ ^ ^ ^ ^
ANGULOS EXTERIORES: son los adyacentes a los interiores. Son a b j d e
DIAGONALES: se llama diagonal al segmento determinado por dos vértices no consecutivos.
__ __ __ __ __
Son: ac, ad, db, be, ce.
Calculando diagonales:
En este polígono es fácil determinar sus diagonales y contarlas, pero si se incrementa el número de lados de un polígono nos daría una imagen confusa, por lo que existe una forma analítica de determinarlo por medio de la formula: n(n-3)
NTD (numero total de diagonales) NTD=---------------
2
Todo polígono se puede inscribir en una circunferencia. Es decir que hay una circunferencia que pasa por sus vértices.
El ángulo central de un polígono tiene el vértice en el centro del polígono y de la circunferencia en el que esta inscripto.
Los lados del ángulo son dos radios consecutivos de la circunferencia.
Para construir polígonos regulares:
a).-Se traza una circunferencia.
b).- Dividimos al ángulo central (3600) por el numero de lados.
1.5 CIRCUNFERENCIA
UN POCO DE HISTORIA:
El círculo ha sido muy importante para el desarrollo de la humanidad por sus aplicaciones en la ciencia y en la técnica. El descubrimiento de la rueda hace miles de anos atrás fue uno de los mayores logros. Su utilización como medio de transporte disminuyo notablemente el rozamiento por arrastre. Como elemento de una maquina se empleo para poleas, prensas y tornos en el siglo VII a.C. A partir de la revolución Industrial, tuvo nuevos usos.
Los matemáticos griegos se dedicaron al estudio aritmético y geométrico del círculo.
o R
En el siglo II a. C. Arquímedes dedujo el valor de (pi). Mas tarde, EUCLIDES, matemático griego del siglo IV, escribió las formulas de la longitud de la circunferencia y del área del circulo en su obra Elementos.
región interior REGION EXTERIOR
Se llama circunferencia de centro “o” y radio R a todos los puntos del plano que están a la misma distancia de “o”
Radio.- segmento comprendido entre el centro de la circunferencia y la misma.
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
Si una recta A corta en dos puntos; se dice que es una recta secante.
Si una recta B corta en un punto; se dice que B es una recta Tangente.
Si la recta C no corta en ningún punto; se dice que C es una recta exterior.
1.6 CIRCULO
o R
Se llama circulo de centro “o” y radio R a todos los puntos de la circunferencia y todos los interiores a misma.
1.7 AREAS Y VOLUMENES
El teorema de Pitágoras
1. Introducción.
2. Desarrollo.
3. Ejercicios
4. Medición practica de los catetos e hipotenusa a través del teorema de Pitágoras.
5. Bibliografía
INTRODUCCION.
Uno de los teoremas milenarios más importantes es sin duda alguna el teorema de Pitágoras.
Gracias a éste se han resuelto infinidad de problemas prácticos que han incidido en el mejoramiento del nivel de vida de la humanidad.
DESARROLLO.
Pitágoras. Filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaximedes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.c. se instaló en Trotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce solo a través de la obra de sus discípulos.
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo.
Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Se dice que el mismo Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorphus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus experiencias previas.
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números.
Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas.
Se dice que Pitágoras fue discípulo de Tales, pero apartándose de la escuela jónica fundó en Crotona Italia la escuela Pitagórica.
Los egipcios conocieron la propiedad del triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades de longitud, en los que se verifica la relación 52 = 32 + 42 , pero el descubrimiento de la relación a2 = b2 + c2 para cualquier triángulo rectángulo y su demostración se debe indiscutiblemente a Pitágoras.
Se atribuye también a la escuela pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo y la construcción geométrica del polígono estrellado de 5 lados.
El teorema de Pitágoras nos dice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Donde los catetos son los lados del triángulo que forman el ángulo recto.
La hipotenusa es el lado opuesto del ángulo recto.
Catetos
Matemáticamente :
Llamémosle "a" a uno de los catetos y "b" al otro cateto, "c" a la hipotenusa, entonces:
C =
O si queremos los catetos a o b:
A=
B=
EJEMPLOS:
Encontrar lo que se pide dados los datos siguientes:
1).-a = 3 c =
b = 4 c = =5
2).- a = 15 c = =25
b = 20
3).- a =2 b =
c =5 b = =
4).- b =3 a =
c =6 a=
EJERCICIOS:
Encontrar lo que se pide:
1).- a = ? si b = 5 c = 8
2).- b = ? si a =3 c = 10
3).- c = ? si a = 10 b = 15
4).- a = ? si b = 7 c = 9
5).- b = ? si a = 6 c = 10
6).- c = ? si a = 13 b = 10
7).- a = ? si b =2 c = 10
8).- b = ? si a = 5 c = 15
9).- c = ? si a = 7 b = 8
10).- a = ? si b = 15 c = 20
MEDICION PRACTICA DE LOS CATETOS E HIPOTENUSA A TRAVES DEL TEOREMA DE PITAGORAS.
En el ejemplo 1) se calculó la hipotenusa del triángulo perfecto cuyos catetos tienen una longitud de 3 y 4 unidades y su hipotenusa de 5 unidades.
Constatemos físicamente ese cálculo. Dibujamos un cateto que mida 3 centímetros y lo trazamos horizontalmente, después trazamos otro de 4 centímetros perpendicularmente al cateto 3 centímetros en cualquiera de los extremos y después dibujamos una línea para unir los dos catetos (esa línea es la hipotenusa).
Enseguida, si medimos esa línea llamada hipotenusa encontraremos que vale 5 centímetros que es los que se había calculado previamente con el teorema de Pitágoras.
BIBLIOGRAFIA
Álgebra
Baldor
Editorial Mc Graw Hill.
Enciclopedia Encarta 2000
Apuntes personales
JORGE LUIS LEDEZMA HERNANDEZ
jorgeluisledezma63@hotmail.com
Ingeniero industrial en electrica
Docente en la especialidad de mantenimiento y electromecanica en el Centro de Bachillerato Industrial y de servicios # 54 de cd Acuña. en cd Acuña coahuila Mexico.
Catedratico del Instituto Tecnologico Superior de Acuña en la especialidad de ingenieria electromecanica e ingenieria industrial.
actualmente cursando la maestria en productividad en la Universidad autónoma del Noreste.
Comentarios
Reducción al primer cuadrante
Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo cualquiera a su equivalente de un ángulo del primer cuadrante. Para tal efecto, vamos a deducir las fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También, vamos a constatar que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer cuadrante, son iguales a las cofunciones del ángulo complementario". Además, vamos a calcular las funciones trigonométricas del negativo de un ángulo.
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